Показательные функции и уравнения: Часть 1

Видео

Конспект

Показательные уравнения и неравенства

Степенные функции

Начнем изучение нового класса функций - показательных и логарифмических функций. Познакомившись с новым классом функций, мы получим новый класс уравнений и неравенств.

Начнем с рассмотрения степенной функции. Мы умеем возводить любое число a в степень n : a^n , извлекать корни: \sqrt{2} , \sqrt[3]{-8} . Комбинируя корни и степени, мы получаем числа в рациональных степенях: a^{\frac{m}{n}} . Однако, с возведением в действительную степень все не так просто, так как само определение действительного числа выходит за рамки школьной программы.

Отметим, что если мы говорим о конкретных степенях, то у каждой степени есть свои требования к числу, которое в эту степень возводится. Так, в натуральную степень мы можем возводить любое число, а вот квадратный корень (в общем случае) можно брать только из положительных чисел. С другой стороны, \sqrt[3]{-8}=-2 . Аналогично, рациональную степень от отрицаемого числа не всегда можно посчитать. Поэтому вводится ограничение: обычно предполагается, что основание степени может быть только положительным.

Таким образом, показательная функция имеет вид f\left( x \right) = a^x,\ \ \ \ a>0. Свойства показательной функции:

Область определения: x \in \mathbb{R} ;

Область значений: x \in \left( 0; +\infty \right) ;

Отсутствует свойство четности. Например: f\left( 1 \right) = a , f\left( -1 \right) = \frac{1}{a} (свойство четности имеет место только если a=1 );

Отсутствует свойство нечетности (из-за области значений);

Свойства монотонности:

При a<1 a^x убывает на \mathbb{R} ,

При a>1 a^x возрастает на \mathbb{R} .

Отметим, что благодаря своей области определения, показательная функция не требует никаких ограничений на область допустимых значений x . С другой стороны, каким бы ни было x , значение функции всегда положительное. Таким образом, показательная функция - одна из самых удобных в обращении.

Построим график показательной функции y=a^x , a>1 (рис. 1). Отметим, что график такой функции всегда будет проходить через точку (0,1) . Скорость роста \backslash убывания функции зависит от конкретного значения a .

1 Если же a<1 , график функции имеет вид, представленный на рис. 2.

2 Графики показательных функций

Построим несколько конкретных графиков конкретных показательных функций.

Рассмотрим функцию y=2^x. Для построения графика (рис. 3) нанесем на сетку несколько точек - (0,1),\ (1,2), \ (2,4) . Из графика видно, что данная показательная функция очень быстро растет - каждое следующее значение в два раза больше предыдущего.

Теперь рассмотрим функцию y = \left( \frac{1}{2} \right)^x = \left( 2^{-1} \right)^x = 2^{-x}. Понятно, что ее график будет симметрично отраженным графику y=2^x (рис. 3).

На забудем рассмотреть также функцию y=1^x, график которой в сущности является константой. Об этой функции особенно важно помнить при решении показательных уравнений.

3 Задача 1.1.

Условие

Рассмотрим функцию

\begin{aligned}

y=2^{x+2}-3 \nonumber

\end{aligned}

Решение

Нарисуем график этой функции. Для начала рассмотрим график 2^{x+2} . Понятно, что точка (0,1) в этом случае сдвигается в точку (-2,1) (рис. 4). Таким образом, график функции 2^{x+2} является сдвинутым влево на 2 относительно графика функции 2^x .

4 Понятно, что график функции y=2^{x+2}-3 получается путем сдвига графика y=2^{x+2} на три точки вниз (рис. 4).

Отметим, что при построении графиков показательных функций при помощи сдвигов возникает некоторое неудобство - нет ни одной характерной точки, за которую можно зацепиться.

Ответ см. решение.

Задача 1.2.

Условие

Построим график функции y=\left( \frac{1}{2} \right)^{x-1}+2. Решение

Для построения графика этой функции вспомним, как выглядит график функции y=\left( \frac{1}{2} \right) ^x (рис. 3). Понятно, что график \left( \frac{1}{2} \right)^{x-1} получается путем смещения исходного графика вправо на единицу (рис. 5). Далее, график \left( \frac{1}{2} \right) ^{x-1}+2 получаем путем сдвига графика \left( \frac{1}{2} \right)^{x-1} на два вверх (рис. 5).

5 Отметим, что область значений функции y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x-1}+2 - это y>2 . Прямая, которая указывает это минимальное значение на рис. 5, называется асимптотой графика.

Ответ см. рисунок.