Показательные функции и уравнения: Часть 3
Математика, 10 класс
Показательные уравнения Свойства степеней: a^x\cdot a^y= a^{x+y} , \left( a^x \right) ^y=a^{x\cdot y} , \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} , a^0=1,a^1 =a , \left( a\cdot b \right) ^x = a^x\cdot b^x . Рассмотри...
Видео
Конспект
Показательные уравнения
Свойства степеней:
a^x\cdot a^y= a^{x+y} ,
\left( a^x \right) ^y=a^{x\cdot y} ,
\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} ,
a^0=1,a^1 =a ,
\left( a\cdot b \right) ^x = a^x\cdot b^x .
Рассмотрим уравнение a^x=b,\ \ a>0. Как мы указали ранее, в общем случае a>0 . Поэтому и a^x>0 . Значит, b>0 . Поэтому, если b\leqslant 0 , то можно утверждать, что x \in \varnothing .
С другой стороны, если b>0 , то имеют место два варианта:
если a=1 , то \left[
\begin{array}{lll}
x \in \mathbb{R} \ при \ b=1,\\
x \in \varnothing \ при \ b\neq 1;
\end{array}\right.
если a\neq 1 , то x = \log_ab.
Отметим, что если b>0 и a\neq 1 , то число \log_ab обязательно существует (рис. 10).
Задача 1.7.
Условие
Решим уравнение 9^x-7\cdot 3x^x+12=0.
Решение
При решении любого показательного уравнения нужно ответить на основополагающий вопрос: сколько оснований показательных функций в данном уравнении?
Отвечая на этот вопрос, заметим, что 9=3^2 , поэтому в данном уравнении одно основание, а не два, как могло бы показаться. Учитывая эту информацию, перепишем исходное уравнение в виде 3^{2x} - 7\cdot 3^x+12=0. Произведем замену переменной - 3^x = z,\ \ \ z>0. В результате уравнение приобретает вид z^2 - 7z+12=0. Корни этого уравнения имеют вид: \left[
\begin{array}{ccc}
z=3,\\
z=4.
\end{array}\right. После обратной замены переменной получаем \left[
\begin{array}{ccc}
3^x=3,\\
3^x=4.
\end{array}\right. Первое уравнение решается тривиально - x=1 (отметим, что это единственное решение, так как функция 3^x монотонна). Для решения второго уравнения воспользуемся введенным выше определением логарифма: x = \log_34 . Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид \left[
\begin{array}{lll}
x=1,\\
x=\log_3 4.
\end{array}\right.
Ответ x=1, \;\log_3 4.
Некоторые примеры показательных уравнений
Задача 1.8.
Условие
Решим уравнение 9^x - 4\cdot 3^{x+1}+27=0.
Решение
Приведем все основания к одному, используя свойства степеней: 3^{2x} - 4\cdot 3\cdot 3^x + 27=0. Таким образом, получаем уравнение 3^{2x} - 12\cdot 3^x + 27=0. Произведем замену переменной: z=3^x,\ \ \ \ z>0. Тогда уравнение приобретает вид z^2 - 12z + 27 = 0. Это квадратное уравнение можно представить в виде \left( z-3 \right) \left( z-9 \right) = 0. Таким образом, обратная замена переменной дает уравнения \left[
\begin{array}{ccc}
3^x=3,\\
3^x=9.
\end{array}\right. Отсюда получаем решения \left[
\begin{array}{ccc}
x=1,\\
x=2.
\end{array}\right.
Ответ x=1, \; 2.
Задача 1.9.
Условие
Решить уравнение 5^{2x+1}-50 \cdot 5^{x-1}-75=0.
Решение
Основание степени здесь одно - 5 . При этом показатели степени не совпадают. Преобразуем уравнение, чтобы далее можно было ввести удобную замену: 5\cdot 5^{2x} - 50 \cdot \frac{1}{5} \cdot 5^x - 75 = 0. В результате получаем уравнение вида 5^{2x} - 2\cdot 5^x -15 =0. Введем замену переменной z=5^x,\ \ \ \ z>0. Тогда уравнение приобретает вид z^2 -2z-15=0. Оно имеет два корня: \left( z-5 \right) \left( z+3 \right) = 0,
\left[
\begin{array}{lll}
z=5,\\
z=-3.
\end{array}\right. Учтём, что корень z=-3 не подходит, так как он не удовлетворяет условию z>0 . Таким образом, 5^x=5\ \ \Leftrightarrow \ \ x=1.
Ответ x=1.
Задача 1.10.
Условие
Решить уравнение 4^{x+1}+2^{x+3}-96=0.
Решение
Перепишем уравнение в виде 2^{2x+2}+2^{x+3}-96=0. Вынесем коэффициенты: 2^2\cdot 2^{2x} + 2^3 \cdot 2^x - 96 = 0. Полученное уравнение 4\cdot 2^{2x} + 8\cdot 2^x - 96 = 0 можно разделить на 4 . В результате получаем 2^{2x} + 2\cdot 2^x-24=0. Введем замену переменной 2^x=z,\ \ \ \ z>0. Тогда уравнение для z приобретает вид z^2+2z-24=0. Оно имеет два корня: \left( z+6 \right) \left( z-4 \right) = 0, \left[
\begin{array}{lll}
z=-6,\\
z=4.
\end{array}\right. Учтем, что первый корень z=-6 не удовлетворяет условию z>0 . Обратная замена дает результат: 2^x=4\ \ \Leftrightarrow\ \ x=2.
Ответ x = 2.