Показательные функции и уравнения: Часть 2

Видео

Конспект

Некоторые примеры показательных функций

Задача 1.3.

Условие

Изобразим график функции y=3^{|x|}.

Решение

Нам известно, что модуль делает нашу функцию четной. Поэтому сперва построим график вспомогательной функции (рис. 6): y=3^x. График функции y=3^{|x|} совпадает с графиком y=3^x при x>0 . Поэтому график y=3^{|x|} получаем в результате симметричного отражения относительно оси y (рис. 6).

6 Отметим, что область значений y=3^x - y>0 . С другой стороны, область значений y=3^{|x|} - y\geqslant 1 .

Ответ см. рисунок.

Задача 1.4.

Условие

Построить график функции y = \left( \frac{1}{3} \right)^{|x|}.

Решение

Для начала рассмотрим функцию y = \left( \frac{1}{3} \right)^x. Изобразим на рис. 7 эту убывающую показательную функцию.

7 Как мы показали ранее, чтобы получить график функции y=\left( \frac{1}{3} \right)^{|x|} , нам нужно отразить правую часть (при x>0 ) полученного графика налево относительно оси y . Видно, что область значений функции y=\left( \frac{1}{3} \right)^{|x|} - y \in \left( 0,1 \right] .

Ответ см. рисунок.

Задача 1.5.

Условие

Построим график функции y=3\cdot 2^{x-3}.

Решение

Для начала изобразим график функции 2^{x} (рис. 8). График функции 2^{x-3} получается сдвигом полученного графика вправо на три единицы. Чтобы из последнего графика получить график функции 3\cdot 2^{x-3} , нужно каждую точку поднять наверх (ордината каждой точки увеличивается в три раза). Так, точка (3,1) переходит в точку (3,3) , точка (0,\frac{1}{8}) - в точку (0,\frac{3}{8}) и т.д.

8 Задача 1.6.

Условие

Построим график функции y = 4\cdot 2^{x-2}.

Решение

Сперва решим эту задачу графически - сперва построим график функции 2^x , сдвинем его на две единицы вправо (чтобы получить график функции 2^{x-2} ) и умножим полученный график на 4 (указанные графики представлены на рис. 9).

9 Приведенные рассуждения показывают, что график функции y=4\cdot 2^{x-2} совпадает с графиком функции y=2^{x} .

Этот результат следует также из преобразования исходной функции: y = 4\cdot 2^{x-2} = 2^2 \cdot 2^{x-2} = 2^x. Таким образом, домножение на 4 и сдвиг на 2 перевели функцию 2^x в себя. Вообще говоря, сдвиг и домножение показательной функции всегда связаны друг с другом (вне зависимости от конкретного примера).

Ответ см. рисунок.