Метод рационализации. Часть 1: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 1.40.

Условие

Решить неравенство \frac{x^2-3}{3^x-4}<0.

Решение

Перейдем к эквивалентному неравенству: \frac{\left( x-\sqrt{3} \right) \left( x+\sqrt{3} \right)}{\left( 3-1 \right) \left( x-\log_3 4 \right)} < 0. Для применения метода интервалов установим отношения между корнями. Заметим, что \sqrt{3}>\frac{3}{2} . Рассмотрим \frac{3}{2}=\log_3 3^{\frac{3}{2}}=\log_3 3\sqrt{3}. Поэтому \log_3 4 < \frac{3}{2} < \sqrt{3}. Воспользуемся методом интервалов (рис. 26): x \in \left( -\infty;-\sqrt{3} \right)\cup \left( \log_3 4;\sqrt{3} \right).

Ответ x \in \left( -\infty;-\sqrt{3} \right)\cup \left( \log_3 4;\sqrt{3} \right) .

Задача 1.41.

Условие

Решить неравенство \frac{\left( 3^{x^2}-3 \right) \left( 2^{-x}-2^3 \right) \left( \frac{1}{2}^{x^2+2x-2}-\frac{1}{2}^x \right) }{x^2-5x+6} > 0.

Решение

Применим метод рационализации для каждой скобки в числителе: \frac{\left( 3-1 \right) \left( x^2-1 \right) \left( 2-1 \right) \left( -x-3 \right) \left( \frac{1}{2}-1 \right) \left( x^2+2x-2-x \right)}{\left( x-3 \right) \left( x-2 \right)} > 0, \frac{-2\cdot 1 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) \left( x+3 \right) \left( x+2 \right) \left( x-1 \right)}{\left( x-3 \right) \left( x+2 \right)} > 0.

Воспользуемся методом интервалов (рис. 27): x \in \left( -3;-2 \right) \cup \left( -1;1 \right) \cup \left( 1;2 \right) \cup \left( 3;+\infty \right).

Ответ x \in \left( -3;-2 \right) \cup \left( -1;1 \right) \cup \left( 1;2 \right) \cup \left( 3;+\infty \right) .

Задача 1.42.

Условие

Решить неравенство \frac{\left( 5^x-5^{x^2+2} \right) \left( 4^{x^2-1}-4^{2x+7} \right) \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{4x} - \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2-5} \right)}{3^{x^2-17x+93} + 3^{x^3-15}} > 0.

Решение

Заметим, что знаменатель всегда положителен, так как 3^{x^2-17x+93} >0,\ \ 3^{x^3-15}>0. Таким образом, значение знаменателя никак не ограничивает допустимые значения x .

Применим метод рационализации к эквивалентному неравенству (то есть к неравенству без знаменателя): \left( 5-1 \right) \left( x-\left( x^2+2 \right) \right) \left( x^2-1-\left( 2x+7 \right) \right) \left( 4-1 \right) \left( \frac{1}{2}-1 \right) \left( 4x-\left( x^2-5 \right) \right) > 0, -6 \left( x-x^2-2 \right) \left( x^2-2x-8 \right) \left( 4x-x^2+5 \right) > 0, -\left( x^2-x+2 \right) \left( x^2-2x-8 \right) \left( x^2-4x-5 \right) > 0. Заметим, что первый множитель всегда положителен: x^2-x+1+1 > 0, поэтому его можно исключить из рассмотрения. В результате получаем -\left( x-4 \right) \left( x+2 \right) \left( x-5 \right) \left( x+1 \right) > 0.

Воспользуемся методом интервалов (рис. 28). Таким образом, x \in \left( -2,-1 \right) \cup \left( 4,5 \right) .

Ответ x \in \left( -2,-1 \right) \cup \left( 4,5 \right) .