Сложные показательные функции. Метод рационализации.: Часть 2
Математика, 10 класс
Задача 1.25. Условие Решить уравнение \left( x^2-x-1 \right)^{x^2-1}=1. Решение Отметим, что единицу можно представить в виде 1=\left( x^2-x-1 \right)^0. Учитывая это, перейдем к эквивалентному уравне...
Видео
Конспект
Задача 1.25.
Условие
Решить уравнение \left( x^2-x-1 \right)^{x^2-1}=1.
Решение
Отметим, что единицу можно представить в виде 1=\left( x^2-x-1 \right)^0. Учитывая это, перейдем к эквивалентному уравнению: \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x^2-x-1-1 \right) \left( x^2-1-0 \right) = 0,\\
x^2-x-1>0.
\end{array}\right. Преобразуем уравнение: \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x^2-x-2 \right) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) = 0,\\
x^2-x-1>0,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x+1 \right) \left( x-2 \right) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) = 0,\\
x^2-x-1 > 0.
\end{array}\right. Таким образом, получаем x=1 , x=-1 и x=2 . Учтем ОДУ: x=1 не подходит. Итак, решение: x=-1, x=2 .
Ответ x=-1, \; 2.
Задача 1.26.
Условие
Решить уравнение x^{\sqrt[3]{x^2}} = \left( \sqrt{x} \right)^x.
Решение
Заметим, что x стоит в аргументе показательной функции. Поэтому имеет место условие x>0 .
Преобразуем уравнение таким образом, чтобы было одно основание: x^{x^\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{2}x}. Распишем совокупность: \left[
\begin{array}{lll}
\left\{
\begin{array}{lll}
x=1,\\
показатель существует,
\end{array}\right.\\
\left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x\neq 1,\\
x^{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}x,
\end{array}\right.
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x=1,\\
\left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x\neq 1,\\
2x^\frac{2}{3} - x = 0,
\end{array}\right.
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x=1,\\
\left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x\neq 1,\\
x^{\frac{2}{3}}\left( 2-x^{\frac{1}{3}} \right) = 0.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Отсюда получаем \left[
\begin{array}{ccc}
x=1,\\
\sqrt[3]{x} = 2,
\end{array}\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left[
\begin{array}{ccc}
x=1,\\
x=8.
\end{array}\right.
Ответ x=1, \; 8.
Уравнения с разными типами функций
Задача 1.27.
Условие
2^{x^2-4x+5}=1+\sin^2 \frac{\pi x}{4}. Решение
Заметим, что показательная функция быстро возрастает (рис. 12).
12 С другой стороны, функция \sin^2 x является ограниченной (рис. 13).
13 Заметим, что 1\leqslant 1+\sin^2 \frac{\pi x}{4}\leqslant 2. С другой стороны, 2^{x^2-4x+5} = 2^{\left( x-2 \right)^2+1}=2\cdot 2^{\left( x-2 \right)^2}. Очевидно, \left( x-2 \right) ^2 \geqslant 0 . Значит, 2^{\left( x-2 \right)^2}> 1 .
Таким образом, правая часть исходного уравнения - это функция, значения которой не превосходят 2 , а левая часть - функция, значения которой не меньше 2 (рис. 14).
14 Таким образом, равенство имеет место тогда и только тогда, когда \left\{
\begin{array}{lll}
2\cdot 2^{\left( x-2 \right) ^2} = 2,\\
1+\sin^2 \frac{\pi x}{4}=2.
\end{array}\right. Решим первое уравнение системы и подставим решение во второе уравнение системы: \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x-2 \right)^2 = 0,\\
\sin^2 \frac{\pi x}{4}=1,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
x=2,\\
\sin^2 \frac{\pi x}{4}=1.
\end{array}\right. Таким образом, x=2 - искомое решение.
Ответ x=2.