Показательные неравенства: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 1.32.

Условие

Решить неравенство \left( \frac{1}{5} \right)^{|x|-2} \geqslant 5.

Решение

Здесь есть два способа перехода к одному основанию: 5^{-\left( |x|-2 \right)}\geqslant 5 или \left( \frac{1}{5} \right)^{|x|-2}\geqslant \left( \frac{1}{5} \right)^{-1}. Воспользуемся вторым способом. В этом случае \left( \frac{1}{5} \right)^z - убывающая функция (рис. 21), поэтому |x|-2\leqslant -1.

21 Таким образом, |x|\leqslant 1 \ \ \Leftrightarrow\ \ -1\leqslant x\leqslant 1.

Ответ -1\leqslant x\leqslant 1.

Задача 1.33.

Условие

Решить неравенство \left( \frac{1}{3} \right)^{x^2+2x} \geqslant \left( \frac{1}{3} \right)^8.

Решение

Так как \left( \frac{1}{3} \right)^z - убывающая функция, данное неравенство эквивалентно следующему неравенству x^2+2x \leqslant 8, x^2+2x-8\leqslant 0, \left( x+4 \right) \left( x-2 \right) \leqslant 0. Отсюда получаем -4 \leqslant x \leqslant 2.

Ответ -4 \leqslant x \leqslant 2.

Задача 1.34.

Условие

Решить неравенство \left( 0.5 \right)^{\frac{2x}{1-x}} \leqslant \sqrt{\left( 0.25 \right)^{x-6}}.

Решение

Перейдем от показательных функций с основаниями 0.5 и 0.25 к функции с основанием 2 : 2^{\frac{2x}{x-1}} \leqslant \left( \sqrt{\frac{1}{4}} \right)^{x-6}, 2^{\frac{2x}{x-1}} \leqslant 2^{6-x}. Так как 2^z - возрастающая показательная функция, \frac{2x}{x-1} \leqslant 6-x, \frac{2x}{x-1}+x-6 \leqslant 0, \frac{2x+x^2-7x+6}{x-1}\leqslant 0, \frac{x^2-5x+6}{x-1} \leqslant 0, \frac{\left( x-2 \right) \left( x-3 \right) }{x-1}\leqslant 0. Решаем полученное неравенство методом интервалов (рис. 22):

Отсюда получаем решение: x \in \left( -\infty,1 \right) \cup \left[ 2,3 \right].

Ответ x \in \left( -\infty,1 \right) \cup \left[ 2,3 \right] .

Задача 1.35.

Условие

Решить неравенство \left( \left( \frac{3}{7} \right)^{\frac{1}{x^2}} \right)^{x^2-2x} \geqslant 1.

Решение

Преобразуем неравенство: \left( \frac{3}{7} \right)^{\frac{x^2-2x}{x^2}} \geqslant \left( \frac{3}{7} \right)^0. Так как \left( \frac{3}{7} \right)^z - убывающая функция, получаем \frac{x^2-2x}{x^2}\leqslant 0, \frac{x\left( x-2 \right) }{x^2} \leqslant 0? \frac{\left( x-2 \right) }{x} \leqslant 0. Таким образом, x \in (0,2] .

Ответ x \in (0,2] .