Метод рационализации. Часть 2: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 1.47. Условие Решить неравенство \left( x^2+x+1 \right)^{\frac{x+5}{x+2}}\geqslant \left( x^2+x+1 \right)^3. Решение Перепишем неравенство в виде \left( x^2+x+1 \right)^{\frac{x+5}{x+2}} - \lef...
Видео
Конспект
Задача 1.47.
Условие
Решить неравенство \left( x^2+x+1 \right)^{\frac{x+5}{x+2}}\geqslant \left( x^2+x+1 \right)^3.
Решение
Перепишем неравенство в виде \left( x^2+x+1 \right)^{\frac{x+5}{x+2}} - \left( x^2+x+1 \right)^3 \geqslant 0 и перейдем к эквивалентному неравенству \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x^2+x+1-1 \right) \left( \frac{x+5}{x+2} - 3 \right) \geqslant 0,\\
x^2+x+1>0 \ \ всегда верно.
\end{array}\right. Таким образом, нам нужно решить неравенство \left( x^2+x \right) \left( \frac{x+5-3x-6}{x+2} \right) \geqslant 0, x\left( x+1 \right) \frac{-2x-1}{x+2} \geqslant 0.
Воспользуемся методом интервалов (рис. 32): x \in \left( -2;-1 \right] \cup \left[ -\frac{1}{2};0 \right] .
Ответ x \in \left( -2;-1 \right] \cup \left[ -\frac{1}{2};0 \right] .
Задача 1.48.
Условие
Решить неравенство \left( \frac{x+3}{2-x} \right)^{2x^2+3x} < \left( x+3 \right)^{6x-1}\left( 4-4x+x^2 \right)^{0.5-3x}.
Решение
Выпишем условия на основания: \left\{
\begin{array}{lll}
x+3>0,\\
\frac{x+3}{2-x}>0,\\
4-x+x^2>0,
\end{array}\right. то есть ОДЗ имеет вид \left\{
\begin{array}{lll}
x>-3,\\
x<2.
\end{array}\right. Перейдем к единому основанию в исходном неравенстве: \left( \frac{x+3}{2-x} \right)^{2x^2+3x} < \left( x+3 \right)^{6x-1} \cdot \left( \left( 2-x \right) ^2 \right) ^{0.5-3x} и заметим, что 2\left( 0.5-3x \right) = -\left( 6x-1 \right) . Поэтому неравенство приобретает вид \left( \frac{x+3}{2-x} \right)^{2x^2+3x} < \frac{\left( x+3 \right)^{6x-1}}{\left( 2-x \right)^{6x-1}}, \left( \frac{x+3}{2-x}\right)^{2x^2+3x} < \left( \frac{x+3}{2-x} \right)^{6x-1}.
Таким образом, получаем эквивалентное неравенство \left\{
\begin{array}{lll}
\left( \frac{x+3}{2-x}-1 \right) \left( 2x^2+3x-6x+1 \right) <0,\\
-3<x<2,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\left( \frac{x+3-2+x}{2-x} \right) \left( 2x^2-3x+1 \right) < 0,\\
-3<x<2,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\left( 2x+1 \right) }{2-x}\left( 2x-1 \right) \left( x-1 \right) < 0,\\
-3<x<2.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 33): x \in \left( -3,-\frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{2},1 \right).
Ответ x \in \left( -3,-\frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{2},1 \right).