Метод рационализации. Часть 2: Часть 2
Математика, 10 класс
Задача 1.44. Условие Решить неравенство \left( x^2+x+1 \right)^x < 1. Решение Перейдем к эквивалентному неравенству: \left( x^2+x+1 \right)^x < \left( x^2+x+1 \right)^0, \left( x^2+x+1 \right) ^x - \l...
Видео
Конспект
Задача 1.44.
Условие
Решить неравенство \left( x^2+x+1 \right)^x < 1.
Решение
Перейдем к эквивалентному неравенству: \left( x^2+x+1 \right)^x < \left( x^2+x+1 \right)^0, \left( x^2+x+1 \right) ^x - \left( x^2+x+1 \right)^0 < 0, \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x^2+x+1-1 \right) \left( x-0 \right) < 0,\\
\left( x^2+x+1 \right) > 0,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
x^2 \left( x+1 \right) < 0,\\
x^2+x+1 > 0\ \ выполняется всегда.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 29).
Ответ x \in (-\infty ; -1) .
Задача 1.45.
Условие
Решить неравенство \left| x+1 \right|^{x^2-3x+2}>1.
Решение
Перепишем неравенство в виде \left\{
\begin{array}{lll}
\left| x+1 \right|^{x^2-3x+2}-\left| x+1 \right|^0 > 0,\\
x\neq 1.
\end{array}\right. Перейдем к эквивалентному неравенству: \left\{
\begin{array}{lll}
\left( \left| x+1 \right| -1 \right) \left( x^2-3x+2 \right) > 0,\\
x\neq 1.
\end{array}\right. Раскроем модуль: \left[
\begin{array}{lll}
\left\{
\begin{array}{lll}
x>-1,\\
x\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) > 0,
\end{array}\right.\\
\left\{
\begin{array}{lll}
x< -1,\\
\left( -x-2 \right) \left( x-1 \right) \left( x-2 \right) > 0.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Применим метод интервалов для каждого из двух случаев (рис. 30). Таким образом, ответ имеет вид x \in \left( -\infty;-2 \right) \cup \left( 0;1 \right) \cup \left( 2;+\infty \right).
Ответ x \in \left( -\infty;-2 \right) \cup \left( 0;1 \right) \cup \left( 2;+\infty \right) .
Задача 1.46.
Условие
Решить неравенство \left( x^2-4x+4 \right) ^{x^2-5x} \leqslant \left( x^2-4x+4 \right)^{4x-20}.
Решение
Перепишем неравенство виде
\left( x^2-4x+4 \right)^{x^2-5x} - \left( x^2-4x+4 \right)^{4x-20} \leqslant 0 и перейдем к эквивалентному неравенству с учетом ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x^2-4x+4-1 \right) \left( x^2-5x-4x+20 \right) \leqslant 0,\\
x^2-4x+4>0.
\end{array}\right. Перейдем к разности квадратов в первом множителе и учтем, что второе неравенство в совокупности выполняется везде, кроме точки x=2 : \left\{
\begin{array}{lll}
\left( \left( x-2 \right) ^2-1 \right) \left( x^2-9x+20 \right) \leqslant 0,\\
x\neq 2,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x-3 \right) \left( x-1 \right) \left( x-4 \right) \left( x-5 \right) \leqslant 0,\\
x\neq 2.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 31): x \in \left[1;2 \right) \cup \left( 2;3 \right] \cup \left[ 4;5 \right].
Ответ x \in \left[1;2 \right) \cup \left( 2;3 \right] \cup \left[ 4;5 \right] .