Показательные и однородные уравнения: Часть 3

Видео

Конспект

Однородные уравнения с показательными функциями

Однородные уравнения

Однородное уравнение 3 -й степени - это уравнение без свободного члена с двумя переменными x и y , причем сумма их степеней одинакова.

Например, a_3\cdot x^3 + a_2\cdot x^2 \cdot y + a_1 \cdot x\cdot y^2 + a_0y^3 = 0. Основные правила работы с однородными уравнениями:

проверяем, что будет, если y=0 ;

делим все уравнение на y в самой большой степени.

В данном случае самая большая степень - 3 . Поэтому получаем a_3 \left( \frac{x}{y} \right)^3 + a_2 \left( \frac{x}{y} \right)^2 + a_1 \frac{x}{y} + a_0 = 0 Получили уравнение третьей степени относительно \frac{x}{y} .

Специфика однородных уравнений с показательными функциями

В большинстве случаев показательные функции делают однородные уравнения проще.

Для примера рассмотрим однородное уравнение четвертой степени следующего вида a_4 \left( p^x \right) ^4 + a_3 \cdot \left( p^x \right) ^3 \cdot q^x + a_2 \left( p^x \right) ^2 \left( q^x \right) ^2 + a_1 \cdot p^x \left( q^x \right) ^3 + a_0\cdot \left( q^x \right) ^4 = 0. Заметим, в случае показательных функций первый пункт проверять не нужно (так как показательные функции всегда положительны).

Согласно второму правилу, разделим уравнение на q^{4x} : a_4 \left( \frac{p}{q} \right)^{4x} + a_3 \left( \frac{p}{q} \right)^{3x} + a_2 \left( \frac{p}{q} \right)^{2x} + a_1 \frac{p}{q} + a_0 = 0.

Задача 1.16.

Условие

Решить уравнение 4^x + 3\cdot 6^x = 4\cdot 9^x.

Решение

Казалось бы, в этом уравнении три различных основания. Однако, исходное уравнение можно переписать в виде 2^{2x} + 3\cdot 2^x \cdot 3^x - 4\cdot 3^{2x} = 0, что означает, что на самом деле здесь лишь два различных основания.

Таким образом, перед нами однородное уравнение второй степени. Для его решения разделим уравнение на 3^{2x} : \frac{2^{2x}}{3^{2x}} + 3\cdot \frac{2^x}{3^x} - 4 = 0. Введем замену y = \left( \frac{2}{3} \right)^x,\ \ \ \ y>0. Тогда уравнение принимает вид y^2+3y-4=0, \left( y-1 \right) \left( y+4 \right) = 0. Учитывая ограничение y>0 , получаем корень y=1 . Таким образом, \left( \frac{2}{3} \right)^x = 1, то есть x=0 .

Ответ x=0.

Задача для самостоятельного решения:

Решить уравнение 2^{4x} - 7\cdot 4^x \cdot 3^{x-1} + 4\cdot 3^{2x-1} = 0.

Разбор домашнего задания

Задача 1.17.

Условие

Решить уравнение 2^{4x} - 7\cdot 4^x \cdot 3^{x-1} + 4\cdot 3^{2x-1} = 0.

Решение

Приведем уравнение к единообразному виду 4^{2x} - \frac{7}{3}\cdot 4^x \cdot 3^x + \frac{4}{3} 3^{2x} = 0. Разделим полученное уравнение на 3^{2x} : \left( \frac{4}{3} \right)^{2x} - \frac{7}{3} \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^x + \frac{4}{3} = 0. Введем замену \left( \frac{4}{3} \right)^x = y,\ \ \ \ y>0. В результате получаем уравнение y^2 - \frac{7}{3}y + \frac{4}{3} = 0, \left( y-1 \right) \left( y-\frac{4}{3} \right) = 0. Обратная замена: \left[

\begin{array}{ccc}

\left( \frac{4}{3} \right)^x = \frac{4}{3}.\ \ \ \ x=1.\\

\left( \frac{4}{3} \right)^x = 1,\ \ \ \ x=0.

\end{array}\right.

Ответ x=1, \; 0 .

Задача 1.18.

Условие

Решить уравнение 8^x + 18^x = 2\cdot 27^x.

Решение

Преобразуем уравнение к виду: 2^{3x}+2^x \cdot 9^x - 2\cdot 27^x = 0. Теперь выделим степени тройки: 2^{3x} + 2^x \cdot 3^{2x} - 2\cdot 3^{3x}=0. Полученное уравнение разделим на 3^{3x} : \frac{2^{3x}}{3^{3x}} + \frac{2^x \cdot 3^{2x}}{3^{3x}} - 2\cdot \frac{3^{3x}}{3^{3x}} = 0, \left( \frac{2}{3} \right)^{3x} + \left( \frac{2}{3} \right)^x - 2 = 0. Вводим замену: \left( \frac{2}{3} \right)^x = y,\ \ \ \ y>0, y^3 + y -2=0. Чтобы найти корни этого неполного кубического уравнения, поделим его в столбик на y-1 :

image.png

Таким образом, полученное ранее кубическое уравнение можно представить в виде \left( y-1 \right) \left( y^2+y+2 \right) =0. Решение этого уравнения - y=1 . Обратная замена дает \left( \frac{2}{3} \right)^x = 1. Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид x=0 .

Ответ x=0.