Показательные и однородные уравнения: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 1.15.

Условие

Решить уравнение \left( 4-\sqrt{15} \right)^x + \left( 4+\sqrt{15} \right)^x = 62.

Решение

Заметим, что \left( 4+\sqrt{15} \right) и \left( 4-\sqrt{15} \right) - сопряженные выражения. Их произведение дает \left( 4-\sqrt{15} \right) \left( 4+\sqrt{15} \right) = 16-15=1. Таким образом, \left( 4+\sqrt{15} \right) и \left( 4-\sqrt{15} \right) являться взаимно-обратными. В частности, это означает 4-\sqrt{15} = \frac{1}{4+\sqrt{15}}. Теперь мы можем сказать, что исходное уравнение содержит только одно основание: \left( \frac{1}{4+\sqrt{15} } \right) ^x + \left( 4+\sqrt{15} \right)^x = 62, \left( 4+\sqrt{15} \right)^{-x}+\left( 4+\sqrt{15} \right)^x = 62. Умножим полученное уравнение на \left(4+\sqrt{15}\right)^x : \left( 4+\sqrt{15} \right) ^{2x} - 62\left( 4+\sqrt{15} \right)^x + 1 = 0. Введем замену переменных \left( 4+\sqrt{15} \right) ^x = y,\ \ \ \ y>0. Тогда получаем уравнение y^2-62y+1=0. Найдем его корни: y=31 \pm \sqrt{\left( 31 \right) ^2 - 1} = 31\pm \sqrt{30\cdot 32} = 31 \pm \sqrt{15 \cdot 2^6} = 31 \pm 8\sqrt{15}. После обратной замены переменной получаем уравнение \left( 4+\sqrt{15} \right)^x = 31 \pm 8\sqrt{15}. Заметим, что \left( 4+\sqrt{15} \right)^2 = 16+8\sqrt{15} +15. Значит, первый корень имеет вид \left( 4+\sqrt{15} \right)^x = \left( 4+\sqrt{15} \right)^2, то есть x=2 .

С другой стороны, \left( 4-\sqrt{15} \right) ^2 = 31-8\sqrt{15}. Значит, второй корень имеет вид \left( 4+\sqrt{15} \right) ^x = \left( 4-\sqrt{15} \right) ^2 = \left( 4+\sqrt{15} \right)^{-2}, то есть x=-2 .

Ответ x=-2.

Задача для самостоятельного решения:

Решить уравнение \left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)^x + \left( \sqrt{2+\sqrt{3} } \right)^x = 4.