Движение по воде: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 3.4

Условие

Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии 15 км от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она дошла до поселка за время 0,75 ч и, повернув обратно,встретила плот на расстоянии 9 км от поселка. Каковы скорость течения реки и скорость лодки относительно воды?

Решение

Пусть скорость течения реки равна y км/ч, а собственная скорость лодки (относительно воды) x км/ч. Скорость лодки по течению равна (x+y) км/ч, против течения (x-y) км/ч. По течению за время 0,75=\frac{3}{4} ч лодка проходит расстояние \frac{3}{4}(x+y)=15 км, а против течения 9 км за время \frac{9}{x-y} ч. Вместе с тем, плот со скоростью течения за то же суммарное время проплыл расстояние 15-9=6 км. Составим систему уравнений \left\{\begin{array}{l}

\left(\frac{3}{4}+\frac{9}{x-y}\right)y=6,\\

\frac{3}{4}(x+y)=15.

\end{array}\right. Из второго уравнения x+y=20 , выразив из него x и подставив в первое уравнение, получим квадратное уравнение y^2-24y+80=0. Решая его, найдем \left[\begin{array}{l}

y = 4, \\

y = 20.

\end{array} \right. Из двух полученных корней больший не подходит, т.к. в этом случае скорость лодки получилась бы отрицательной. Выбирая значение y=4 , найдем x=16 .

Ответ v_{лодки}=16 км/ч, v_{теч}=4 км/ч.

Задача 3.5

Условие

От пристани A к пристани B отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью, на 1 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 110 км. Найдите скорость второго теп­ло­хо­да, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть скорость первого теплохода равна x км/ч, тогда скорость второго равна (x+1) км/ч. Первый теплоход проходит 110 км от пристани A к пристани B за время \frac{110}{x} ч, а второй за время \frac{110}{x+1} ч. При этом фактически второй теплоход тратит на 1 час меньше, получаем уравнение \frac{110}{x+1}+1=\frac{110}{x}. Это уравнение сводится к квадратному уравнению x^2+x-110=0. Решая его, найдем \left[\begin{array}{l}

x = 10, \\

x = -11.

\end{array} \right. Из двух полученных корней выбираем, естественно, положительный. Тогда скорость второго теплохода равна x+1=10+1=11 км/ч.

Ответ 11 .

Задача 3.6

Условие

Плотогон Речкин в селе Верхнее, расположенном выше по реке, передал письмо почтальону Печкину, направленное в село Нижнее, расположенное ниже по реке, и начал сплав. Печкин в то же время стартовал вниз по реке на своей моторке, так как в тех местах это был самый надежный способ доставить почту. Печкин успел доставить в Нижнее почту, не теряя ни минуты схватить мешок почты для села Среднее, расположенного ровно посередине между Верхним и Нижним, и, встретив Речкина в момент его прибытия в Среднее, вручить тому письмо от любящей бабушки. Во сколько раз скорость моторки превышала скорость реки?

Решение

Пусть скорость течения реки равна y , а собственная скорость моторки (относительно воды) x . Пусть расстояние от Верхнего до Среднего равно S , такое же расстояние от Среднего до Нижнего. Почтальон Печкин по течению со скоростью (x+y) проплыл расстояние 2S на моторке из села Верхнее до села Нижнее за время \frac{2S}{x+y} , затем вернулся против течения в село Среднее, проплыв со скоростью (x-y) расстояние S за время \frac{S}{x-y} . За такое же суммарное время, равное, с другой стороны, \frac{S}{y} , Речкин проплыл со скоростью течения y расстояние S от Верхнего до Среднего. Получаем уравнение \frac{S}{y}=\frac{2S}{x+y}+\frac{S}{x-y}. Поделим уравнение на положительную величину S . Избавляясь от знаменателей и приводя подобные слагаемые, получим уравнение x^2=3xy , откуда \frac{x}{y}=3 .

Ответ в 3 раза.