Сферические зеркала: Часть 1

Конспект

№1

Условие

15 На рисунке показан ход луча 1 при отражении от вогнутого зеркала. Определите направление луча 2 после отражения от зеркала.

Решение

Построим биссектрису угла между падающим и отраженным лучом. Её пересечение с ГОО - оптический центр зеркала O . Соединив точку падения луча 2 и точку O , получим биссектрису для луча 2. Отложив от неё угол, равный углу падения, получим отраженный луч 2.

6.1 №2

Условие

16 Точка S^{\prime} является изображением источника света S в сферическом зеркале, оптическая ось которого N_1N_2 . Найти построением положение зеркала и его фокуса.

Решение

Проведём линию, соединяющую точки S и S^{\prime} . Построим точку S_1 симметричную S^{\prime} относительно N_1N_2 . Соединив SS_1 до пересечения с N_1N_2 получим полюс зеркала - точку P . Пересечение линий SS^{\prime} и N_1N_2 - оптический центр зеркала O . Мы нашли положение зеркала.

Построим прямую через точку S , параллельную прямо N_1N_2 . Проведем прямую через точку пересечения вышеупомянутой прямо с зеркалом и точку S^{\prime} . Пересечение этой линии с N_1N_2 - фокус зеркала.

6.2 №3

Условие

17 На рисунке показано положение оптической оси N_1N_2 сферического зеркала, расположение источника и его изображения. Найти построением положение центра зеркала, его фокуса и полюса для случаев:

А) A - источник, B - изображение;

Б) B источник, A - изображение.

Решение

А) A - источник, B - изображение. Пересечеи прямую AB с N_1N_2 . Точка пересечения - центр зеркала O . Построим симметричную относительно N_1N_2 точке A точку A^{\prime} . Пересечение AA^{\prime} c N_1N_2 - фокус зеркала, пересечение BA^{\prime} с N_1N_2 - полюс зеркала.

6.3 Б) B источник, A - изображение. Все построения аналогичны с пунктом А), неоюходимо лишь в рассуждениях поменять точки только A и B местами.

6.4 №4

Условие

Светящаяся точка движется по оси вогнутого сферического зеркала, приближаясь к нему. При каких расстояниях точки от зеркала расстояние между точкой и ее изображением в зеркале будет равно 0,75R , где R - радиус кривизны зеркала?

Решение

Пусть расстояние от светящейся точки до зеркала равно d , расстояние от изображения до зеркала f . Тогда по формуле вогнутого зеркала \frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{2}{R}. По условию | d-f|=0,75R . Решая полученную систему уравнений, находим следующие решения: d_1 = 1,5R,\quad d_4 = 0,25R,\quad d_3 = 0,75R. Четвертое решение d =-0,5R непригодно, так как должно быть d > 0 .

№5

Условие

Каков радиус вогнутого сферического зеркала, находящегося на расстоянии a = 2 м от лица, если человек видит в нем свое изображение в n = 1,5 раза большим, чем в плоском зеркале, находящемся на том же расстоянии?

Решение

На основании формулы зеркала \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{f}. Линейное увеличение зеркала H/h=b/a . Угловые размеры изображения в вогнутом зеркале по условию задачи в 1,5 раза больше угловых размеров изображения в плоском зеркале: \beta = 1,5\alpha . Очевидно, что \operatorname{tg} \alpha = h/2\alpha, \operatorname{tg} \beta = H/(a- b) . При h << 2a углы \alpha и \beta малы. Для малых углов H/(a+b)\approx 1,5h/2\alpha . Исключая из уравнений неизвестные H/h и b , найдем f= 3a/2 . Следовательно, R= 2f= 3a= 6 м.

18 №6

Условие

Вогнутое сферическое зеркало дает действительное изображение, которое в \Gamma = 3 раза больше предмета. Определить фокусное расстояние зеркала, если расстояние между предметом и его изображением L = 20 см.

Решение

Из подобных треугольников получим: \frac{H}{h}=\frac{f}{d}=\Gamma=3\quad\Rightarrow\quad f=3d. L=f-d=3d-d=20 см \quad\Rightarrow\quad d=10 см.

Воспользуемся формулой зеркала: \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{3d}=\frac{4}{3d}\quad\Rightarrow\quad F=\frac{3}{4}d=7,5 см.

6.5 №7

Условие

Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало с радиусом кривизны R = 60 см так, что их продолжения пересекаются на оси зеркала на расстоянии a = 15 см (за зеркалом). На каком расстоянии от зеркала сойдутся эти лучи после отражения?

Решение

Формула зеркала: -\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=-\frac{2}{R}\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{f}=-\frac{2}{R}+\frac{1}{d}\quad\Rightarrow\quad f=30 см.

Расстояние до изображения и есть искомое расстояние.

6.6