Закон отражения света: Часть 1

Конспект

№1

Условие

Солнечный луч составляет с поверхностью земли угол \varphi=40^{\circ} . Под каким углом к горизонту следует расположить плоское зеркало, чтобы солнечный луч осветил дно глубокого колодца?

Решение

После отражения луч должен светить вертикально вниз. Значит, угол между падающим и отраженным лучом \varphi+90^{\circ} . Тогда угол между зеркалом и вертикалью \bigg(\frac{\varphi+90^{}\circ}{2}\bigg) , а угол между зеркалом и горизонтом тогда \frac{\varphi+90^{}\circ}{2}=65^{\circ} .

4.1 №2

Условие

4.15 В комнате высотой H = 4 м на расстоянии h = 2,5 м от пола висит лампа. Плоское зеркальце диаметром d = 5 см лежит на полу на расстоянии l по горизонтали от лампы. Какого максимального диаметра D будет от него зайчик на потолке, если l =0,5 м?

Решение

Построим отраженные в зеркале лучи от источника и пересечем их с потолком. \Delta OAB\sim\Delta OCD . Тогда \frac{x}{d}=\frac{H+h}{h}\quad\Rightarrow\quad x=d\frac{H+h}{h}\approx13 см.

4.2 №3

Условие

4.16 Шахматная фигура AB расположена на столе так, как показано на рисунке. Постройте область, в которой глаз наблюдателя сможет увидеть её изображение.

Решение

Построим изображение фищуры в зеркале. Там, где двугранный угол, образованный отраженными лучами, пущенными из точки A , пересекает двугранный угол, образованный отраженными лучами, пущенными из точки B , можно увидеть изображение фигуры.

4.3 №4

Условие

9 На рисунке показаны области частичной (штриховка) и полной (двойная штриховка видимости в плоском зеркале некоторого предмета, имеющего форму прямолинейного отрезка. Определите положение предмета AB .

Решение

Продлим до пересечения сходязиеся за зеркалом лучи. Соединив эти точки получим ищображения предмета. Построив его зеркально относительно зеркала, получим сам предмет.

10 №5

Условие

а) Уголковый отражатель образован двумя перпендикулярными зеркалами. На него падает луч света. Докажите, что после двукратного отражения (в обоих зеркалах) луч окажется параллелен падающему.

б) Уголковый отражатель образован двумя зеркалами, образующими острый угол \alpha . На него падает луч света. Известно, что после двух отражений луч пересёкся с падающим. Под каким углом?

Решение

а) Построим лучи. Угол между единожды отраженным лучом и вертикалью равен 90^{\circ}-\alpha Угол между дважды отраженным лучом и горизонаталью равен 90^{\circ}-\beta . Из рисунка видно, что \alpha+\beta+90^{\circ}=180^{circ}\quad\Rightarrow\quad2\alpha+2\beta=180^{\circ}. Значит, OA||BC, что и требовалось доказать.

4.5 б) \Delta ABC : 90^{\circ}+\varphi+90^{\circ}-\psi+\alpha=180^{\circ}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\varphi+\psi. \Delta OAB : 180^{\circ}=\beta+2\varphi+2\psi\quad\Rightarrow\quad\beta=180^{\circ}+2\alpha.

4.6 В случае тупого угла рассмотрим \Delta ABO : 180^{\circ}-2\varphi+180^{\circ}-2\psi+\beta=180^{\circ}\quad\Rightarrow\quad\beta=2\psi+2\varphi-180^{\circ}\quad\Rightarrow\quad\beta=2\alpha-180^{\circ}.

4.7 №6

Условие

Два плоских зеркала AO и OB образуют двугранный угол \varphi=2\pi/n , где n - целое число. Точечный источник света S находится между зеркалами на равном расстоянии от каждого из них. Найти число изображений источника в зеркалах.

Решение

11 Из равенства треугольников \Delta SOA , \Delta SOB , \Delta S_1^{\prime\prime}OA , \Delta S^{\prime}_1OB следует, что источник света S , его изображение S_1^{\prime} в зеркале OB и изображение S_1^{\prime\prime} в зеркале OA лежат на окружности с центром в точке O . \angle S_1^{\prime\prime}OS= \angle SOS_1^{\prime} =\varphi . Мнимый источник S_1^{\prime} отражается в зеркале AO , давая изображение S_2^{\prime} , лежащее на той же окружности на расстоянии 2\varphi дуговых градусов от источника S . Точно так же образуется изображение S_2^{\prime\prime} мнимого источника S_1^{\prime\prime} в зеркале OB .

Продолжая построение дальше, получаем третьи изображения S_3^{\prime} и S_3^{\prime\prime} , отстоящие от источника на 3\varphi градусов, четвертые S_4^{\prime} и S_4^{\prime\prime} (отстоящие на 4\varphi градусов) и т. д. Если число n четное ( n= 2k ), то изображение S_k^{\prime} совпадает с S_k^{\prime\prime} и будет находиться на одном диаметре с источником. Всего, таким образом, будет 2k - 1 =n - 1 изображений. Если же n нечетное ( n = 2i + 1 ), то, как легко убедиться, i -е изображения лежат на продолжениях зеркал и, следовательно, совпадают с ( i+ i )-ми и всеми последующими. Поэтому всего изображений будет 2i , т. е. по-прежнему n- 1 .

№7

Условие

Два плоских зеркала AO и OB образуют произвольный двугранный угол \varphi=2\pi/a , где a - любое число, большее 2. Точечный источник света S находится между зеркалами на равном расстоянии от каждого из них. Найти число изображений источника в зеркалах.

Решение

12 Используя решение предыдущей задачи, построим последовательно первые, вторые, третьи и т. д. изображения источника S в зеркалах. Все они будут лежать на окружности с радиусом OS и центром в точке O . Если a - целое число, то последние i -е изображения либо попадут в точки C и D пересечения окружности с продолжениями зеркал, либо совпадут с точкой F , диаметрально противоположной источнику. В том и в другом случае число изображений будет a-1 . Если же a не целое, например a=2i\pm \xi , где \xi<1 , a i - целое число, то последние i -e изображения будут лежать на дуге CFD , находящейся позади как первого, так и второго зеркала, и, следовательно, дальнейших отражений не будет. Поэтому общее число изображений будет равно 2i .

№8

Условие

13 В каком направлении нужно пустить луч света из точки A , находящейся внутри зеркального ящика, чтобы он, отразившись от четырех стенок попал в точку B ?

Решение

14 Построим изображение точки B в зеркале bd . Далее строим изображение B_1 в зеркале cd , B_3 - изображение B_2 в зеркале ac , B_4 - изображение B_3 в зеркале ab . Соединим точки A и B_4 . C - точка пересечения ab с линией AB_4 . Из B_3 проводим линию B_3C . Точку D пересечения этой линии с ac соединим с B_3 . E соединим с B_1 , а F - с B . Можно утверждать, что ломаная линия ACDEFB есть искомая траектория луча. Действительно, так как \Delta B_3CB_4 равнобедренный, CD есть отражение луча AC . Аналогично можно убедиться, что DE есть отражение CD и т. д. Данное решение задачи не является единственным, так как первоначально луч не обязательно направлять на зеркало ab .

№9

Условие

21 По комнате движутся во взаимно перпендикулярных направлениях школьница Ирина и шкаф на колёсиках, причём шкаф удаляется от Ирины. На шкафу расположено плоское зеркало, в котором Ирина видит своё изображение. Скорости шкафа и Ирины относительно комнаты равны соответственно v_1 = 1,5 м/с и v_2 = 2 м/с. Найдите модуль скорости изображения Ирины

а) относительно зеркала;

б) относительно комнаты;

в) относительно Ирины.

Решение

4.8 a) v_{зер}=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=2.5 м/с.

б) \vec{v_{Зем}}=\vec{v_{зер}}+\vec{v_{зер зем}}=\sqrt{(2v_1^2+v_2^2)}.

в) \vec{v_{Ир}}=\vec{v_{Зем}}+\vec{v_{Зем Ир}}=\vec{v_{Зем}}-\vec{v_{Ир Зем}}\quad\Rightarrow\quad v_{Ир}=2v_1.

№10

Условие

22 Зеркало AO вращается с угловой скоростью \omega . С какой скоростью движется изображение точки S в зеркале? Точка S не подвижна, расстояние OS

= l .

Решение

S^{\prime} и S^{\prime\prime} - изображения точки S при нулевом угле поворота и при угле поворота \alpha соответственно. \angle SOS^{\prime}=2\alpha, \angle SOS^{\prime\prime}=2\alpha+2\varphi\quad\Rightarrow\quad\angle S^{\prime}OS^{\prime\prime}=2\varphi. Зеркало вращаеься с угловой скоростью \omega , тогда изображения с угловой скоростью 2\omega . В СО Земли: V_{и}=2\omega l .

4.10 №11

Условие

На вращающееся с угловой скоростью \omega плоское зеркальце падает световой луч. Найти угловую скорость вращения отраженного луча.

Решение

За вреям \Delta t зеркало поворачивается на угол \varphi=\omega\Delta t . При отражении угол падения равен углу отражения, соответсвенно отраженный угол поворачивается на угол 2\varphi , то есть его угловая скорость - 2\omega .

4.12 №12

Условие

4.26 Только взошло Солнце. По ровной дороге на велосипеде едет со скоростью v_0 кот Леопольд. А в это время на расстоянии r от дороги и L от кота два озорных мышонка пытаются при помощи зеркальца попасть «солнечным зайчиком» Леопольду прямо в глаз. Найдите, с какой угловой скоростью \omega мышата должны поворачивать зеркальце, чтобы ослепить кота.

Решение

4.14 Пусть за малое время \Delta t угол между линией, соединяющей кота с мышами, и перпендикуляром от мышей на дорогу изменяется на малую величину \Delta\alpha . Тогда \sin\Delta\alpha=\operatorname{tg}\Delta\alpha=\Delta\alpha . \frac{L\Delta\alpha}{v\Delta t}=\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha. \begin{cases}

\begin{aligned}

&\omega_1=\frac{v}{L}\cos\alpha,\\

&\cos\alpha=\frac{r}{L}

\end{aligned}

\end{cases}

\Rightarrow\quad\omega_1=\frac{vr}{L^2}. Получена скорость поворота луча \omega_1 . Тогда скорость поворота зеркала \omega=\frac{\omega_1}{2}=\frac{vr}{2L^2}.

4.13