Вывод формулы тонкой линзы: Часть 1

Видео

Конспект

1. Получим формулу тонкой собирающей линзы.

Она связывает фокусное расстояние F , расстояние от предмета до линзы d и расстояние от изображения до линзы f . Нам нужно найти расстояние от заднего фокуса до изображения.

Выполним построение оптической схемы. На ней есть линза с оптическим центром O, полушириной ОС, фокусом F и двойным фокусным расстоянием 2F ; предмет AB высотой h , который расположен между фокусом F и двойным фокусом 2F ; изображение MN высотой H .

1 Здесь d - расстояние от предмета до линзы, f - расстояние от линзы до изображения. Помним, что при построении мы сохраняем перпендикулярность предмета и изображения (на представленной схеме в виде стрелок) к ГОО.

Для вывода формулы воспользуемся свойством подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Первая пара треугольников: \Delta AOB \sim \Delta MON . Это значит, что мы можем рассмотреть равенство отношений горизонтальных сторон (ниже в левой части) и вертикальных сторон (в правой части):

\frac{A O}{M O}=\frac{A B}{M N}. \quad (1) 2 Аналогично для второй пары треугольников: \Delta FOC \sim \Delta MFN : \frac{O F}{M F}=\frac{O C}{M N}. \quad (2)

3 Рассмотрим и обозначим стороны треугольников с физическими величинами: \begin{array}{cc}

\Delta AOB \sim \Delta MON: & \Delta FOC \sim \Delta MFN \\

A O=d & O F=F \\

M O=f & M F=M O-O F=f-F\\

A B=h & O C=A B=h\\

M N=H & M N=H

\end{array}

Подставим обозначения в (1) и (2): \frac{d}{f}=\frac{h}{H}; \quad (1') \frac{F}{f-F}=\frac{h}{H}. \quad (2')

Четко видно, что эти выражения имеют одинаковую правую часть, т.е. их можно приравнять друг к другу: \frac{d}{f}=\frac{F}{f-F}.

Перекрёстным умножением дробей можно преобразовать выражение: d f-d F=f F.

Для следующего упрощения разделим выражение на d f F и сократим: \begin{gathered}

\frac{d f}{d f F}-\frac{d F}{d f F}=\frac{f F}{d f F}; \\

\frac{d f}{d f F}-\frac{d F}{d f F}=\frac{f F}{d f F}; \\

\frac{1}{F}-\frac{1}{f}=\frac{1}{d}.

\end{gathered}

Мы вывели одну из важных в геометрической оптике формулу тонкой линзы: \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}.

2. Иногда в задачах не задается расстояние d , но могут спросить, на каком расстоянии a=AF находится предмет от переднего фокуса линзы или на каком расстоянии b=FM находится изображение от заднего фокуса.

Рассмотрим, как формула тонкой линзы будет выражаться, если d не задано. Мы можем сказать, что расстояние от предмета до линзы d=F+a и расстояние от линзы до изображения f=F+b . Тогда, подставив в формулу тонкой линзы, получим: \begin{gathered}

\frac{1}{F}=\frac{1}{F+a}+\frac{1}{F+b}; \\

\frac{1}{F}=\frac{F+b+F+a}{(F+a)(F+b)}; \\

(F+a)(F+b)=F(F+b+F+a); \\

F^{2}+F b+F a+a b=F^{2}+F b+F^{2}+F a; \\

F^{2}=a b; \\

F=\sqrt{a b} .

\end{gathered}

Мы вывели выражение, называемое формулой Ньютона. Формула не всегда используется в школьных задачах, но очень полезна для олимпиад и углубленного изучения.

Например, a=9 см, b=16 см . Тогда по формуле Ньютона: F=\sqrt{9 \cdot 16}=\sqrt{144}=12 \ (см).

Данная формула отсутствует в кодификаторе ЕГЭ, однако если она встретится на экзамене, то в обязательном порядке необходимо привести ее вывод.

3. Теперь проведем вывод формулы для рассеивающей тонкой линзы. Построим схему:

4 Первая пара треугольников: \Delta AOB \sim \Delta DOC . Это значит, что мы можем рассмотреть равенство отношений горизонтальных сторон (ниже в левой части) и вертикальных сторон (в правой части): \frac{O D}{O A}=\frac{C D}{B A}. \quad (3)

5 Для второй пары треугольников: \Delta FDC \sim \Delta FOK : \frac{D F}{O F}=\frac{C D}{O K}. \quad (4)

6 Обозначим стороны треугольников как физические величины: \begin{array}{cc}

\Delta AOB \sim \Delta MON: & \Delta FDC \sim \Delta FOK: \\

A O=d & C D=H \\

O D=f & O K=B A=h \\

B A=h & D F=O F-O D=F-f \\

O F=F &

\end{array}

Приравняем отношения и подставим величины: \frac{f}{d}=\frac{F-f}{F}.

Важно отметить, мы рассматриваем фокусное расстояние F , которое находится перед линзой. У нас мнимое изображение, поэтому этот фокус мнимый. Следовательно, фокусное расстояние - отрицательное.

Аналогичные для собирающей линзы проведем преобразования: d F-d f=f F.

Для следующего упрощения разделим выражение на d f F и сократим: \begin{gathered}

\frac{d F}{d f F}-\frac{d f}{d f F}=\frac{f F}{d f F}; \\

\frac{d F}{d f F}-\frac{d f}{d f F}=\frac{f F}{d f F}; \\

\frac{1}{f}-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}.

\end{gathered}

Мы вывели формулу тонкой линзы для рассеивающей линзы:

-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}. Следует запомнить, если фокусное расстояние отрицательное - это мнимый фокус и мнимое изображение. Из-за «минуса» формула Ньютона неприменима для рассеивающей линзы.

Все три вида формулы тонкой линзы приведены на рисунке ниже.

7 В лекциях не приводится вывод формулы тонкой собирающей линзы для случая d<F , проделайте самостоятельно, это не сложно:

постройте изображение при d<F ;

найдите подобные треугольники относительно оптического центра О и точки фокуса F ;

проведите преобразования, как было проделано выше.

Важно, чтобы не путаться, не используйте данную форму записи формулы тонкой линзы: \pm \frac{1}{F}= \pm \frac{1}{d} \pm \frac{1}{f}.