Механика в линзах: Часть 1

Видео

Конспект

Задача

Условие

Мошка переползает с некоторой скоростью v главную оптическую ось на расстоянии d=7 / 5 F под углом тангенса \operatorname{tg} \alpha=4 / 3 . Определить:

на каком фокусном расстоянии f будет изображение мошки;

под каким углом \beta будет направлена скорость изображения;

скорость изображения мошки u .

Решение

1. По условию видно, что d>F . Выразим расстояние изображения f и подставим расстояние предмета d из условия:

\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}; \frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=\frac{d-F}{F d}; f=\frac{F d}{d-F}; f=\frac{F \cdot \frac{7}{5} F}{\frac{7}{5} F-F}=\frac{7 F^{2 \cdot 5}}{5 \cdot 2 F}=\frac{7}{2} F=3,5 F; f=3,5 F.

В дополнение определим поперечное увеличение \Gamma : \Gamma=\frac{f}{d}; \Gamma=\frac{7}{2} F \cdot \frac{5}{7 F}=\frac{5}{2}=2,5 ; \Gamma=2,5.

Теперь проведем построение изображения.

1 Направление стрелок строится легко определить, если проанализировать формулу тонкой собирающей линзы, где F - const.

Если мошка движется так, что d уменьшается, тогда 1/d увеличивается. При этом дробь 1 / f должна уменьшаться, чтобы оставить F неизменной константой. T.e. f увеличивается. При этом вектор скорости u изображение будет перевернутым и под некоторым углом \beta .

2. Определим угол \beta . В оптике часто применяются тригонометрические функции. По определению можем определить тангенсы треугольников S O B и S^{\prime} O B : \operatorname{tg} \alpha=\frac{O B}{O S}=\frac{O B}{d} ; \operatorname{tg} \beta=\frac{O B}{O S^{\prime}}=\frac{O B}{f}.

По методу деления выразим \operatorname{tg} \beta : \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta}=\frac{O B}{d} \frac{f}{O B}=\frac{f}{d}=\Gamma ; \operatorname{tg} \beta=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\Gamma} ; \operatorname{tg} \beta=\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5}=\frac{8}{15}.

Если в условии задачи указано значение тангенса угла, то также легко выразить \sin и \cos благодаря свойству «волшебного» прямоугольного треугольнику.

Для \operatorname{tg} \alpha=4 / 3 выражаем \sin \alpha=4 / 5 и \cos \alpha=3 / 5 ;

Для \operatorname{tg} \beta=8 / 15 выражаем \sin \beta=8 / 17 и \cos \beta=15 / 17 (для простоты понимания, можно выразить тригонометрические функции через теорему Пифагора).

Еще один вариант для вывода \operatorname{tg} \beta - это основное тригонометрическое тождество: \sin ^{2} \beta+\cos ^{2} \beta=1.

Разделим на \cos ^{2} \beta : \operatorname{tg}^{2} \beta+1=\frac{1}{\cos ^{2} \beta}.

В полученное выражение подставляется \operatorname{tg}^{2} \beta=(\frac{8}{15})^{2} и находим \cos \beta , а затем через основное тригонометрическое тождество - \sin \beta .

Определим скорость u . Скорости v и u разложим на компоненты:

\begin{array}{ll}

v_{x}=v \cos \alpha; & u_{x}=u \cos \beta; \\

v_{y}=v \sin \alpha. & u_{y}=u \sin \beta.

\end{array} 2 Первый способ выражения скорости u через поперечные составляющие увеличения \Gamma : \Gamma=\frac{Y}{y}=\frac{u_{y} \Delta t}{v_{y} \Delta t}=\frac{u_{y}}{v_{y}}=\frac{u \sin \beta}{v \sin \alpha}; u=\frac{\Gamma v \sin \alpha}{\sin \beta} ; u=\frac{5}{2} v \frac{4}{5} \frac{17}{8}=\frac{34}{8} v=\frac{17}{4} v; u=\frac{17}{4} v.

Второй способ выражения скорости u через продольные составляющие увеличения \beta (не путать с углом изображения при ГОО): \beta=\frac{X}{x}=\frac{u_{x} \Delta t}{v_{x} \Delta t}=\frac{u_{x}}{v_{x}}=\frac{u \cos \beta}{v \cos \alpha}.

Согласно выводу продольного увеличения в прошлых лекциях: \beta=\Gamma^{2}; u=\frac{\Gamma^{2} v \cos \alpha}{\cos \beta} ; u=\left(\frac{5}{2}\right)^{2} v \frac{3}{5} \frac{17}{15}=\frac{17}{4} v; u=\frac{17}{4} v.

Ответы двух способов совпадают.

Представим основные выводы механики в оптике:

продольные компоненты скоростей предмета и изображения всегда сонаправленные ( v_{x} \uparrow \uparrow u_{x} );

для поперечных компонент скоростей предмета и изображения существуют две ситуации:

a) для действительного изображения они противоположно направленные ( v_{y} \uparrow \downarrow u_{y} );

b) для мнимого изображения они сонаправленные ( v_{y} \uparrow \uparrow u_{y} ).