Сферические зеркала: Часть 1

Видео

Конспект

Будем работать в приближении малых углов, когда \sin \alpha \approx \operatorname{tg} \alpha \approx \alpha .

Рассмотрим вогнутое сферическое зеркало. O - центр сферической поверхности, R - её радиус. Рассмотрим луч, падающий на зеркало параллельно оси симметрии O P . Точку P будем называть полюсом. Нетрудно заметить, что все лучи, параллельные OP будут собираться в одной точке, точке F , такой, что F P=R / 2 . Точка F называется фокусом вогнутого зеркала.

3.1 \begin{aligned}

&FH \approx FP \\

&OH \approx OP \\

& OH = R \\

&\frac{h}{R} = \operatorname{tg} \alpha \approx \alpha \\

&\frac{h}{F}=\operatorname{tg} 2\alpha \approx 2 \alpha \\

&R\cdot \alpha = F \cdot 2\alpha \\

&F=\frac{R}{2}

\end{aligned}

Обратим внимание, что любой параллельный пучок лучей, падающий на вогнутое зеркало, будет собираться на половине радиуса сферы:

Для построения изображения в вогнутом зеркале нам могут быть полезны 4 луча

3.2 \quad Луч, идущий через точку O , при отражении пойдёт также через точку O

\quad Луч параллельный OP , отразившись пойдёт через фокус

\quad Луч идущий через фокус после отражения пойдёт параллельно ОР

\quad Луч идущий через полюс после отражения идёт симметрично относительно ОР.

3.3 \begin{aligned}

&P- полное \\

&OF=\frac{1}{2}OP \\

&Изображение действительное

\end{aligned}

Изображение, полученное в зеркале, можно охаректиризовать тремя основными параметрами:

\quad действительное/мнимое

\quad прямое/перевернутое

\quad увеличенное/уменьшенное/в натуральную величину

Пусть предмет находится за точкой O , построим его изображение:

3.4 \begin{aligned}

&OP=R \\

&OF = \frac{R}{2} \\

&AP = d > 2F\\

&* действительное \\

&* перевёрнутое \\

&* уменьшенное

\end{aligned}

Пусть предмет находится между точками O и F , построим его изображение:

3.5 \begin{aligned}

&* действительное \\

&* перевёрнутое \\

&* увеличенное

\end{aligned}

Стоит заметить, что если предмет окажется в точке О, то изображение получится в натуральную величину.

Пусть предмет находится между точками F и P , построим его изображение:

3.6 \begin{aligned}

&* мнимое \\

&* прямое \\

&* увеличенное

\end{aligned}

Формула зеркала (случай выпуклого зеркала)

Получим связь между расстояниями от предмета до зеркала (d) , от зеркала до изображения (f) и фокусным расстоянием F. Случаи 1 и 2 идентичны (обратимость лучей), поэтому пусть d>2 F .

3.7 \begin{aligned}

&\left.

\begin{aligned}

&\triangle ABP \sim \triangle A'B'P \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{H}=\frac{d}{f} \\

&\triangle FA'H \sim \triangle FPB_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{H}=\frac{F}{f-F}

\end{aligned} \right\} \Rightarrow \frac{f}{d}=\frac{f-F}{F} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{2}{R}\\

& (высота из B_1 почти попадает в P)

\end{aligned} Аналогичное выражение можно получить для случая d<F :

3.8 \begin{aligned}

&\left.

\begin{aligned}

&\triangle ABP \sim \triangle A'B'P \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{H}=\frac{d}{f} \\

&\triangle FB_1P \sim \triangle FB'A' \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{H}=\frac{F}{f+F}

\end{aligned} \right\} \Rightarrow \frac{f}{d}=\frac{f}{F} + 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}=\frac{2}{R}\\

& (высота из B_1 почти попадает в P)

\end{aligned} Минус в данном выражении связан с мнимостью изображения.

Теперь рассмотрим выпуклое зеркало. Построение аналогично вогнутому зеркалу с той лишь разницей, что параллельный пучок, падающий на выпуклое зеркало, после отражения расходится. Поэтому в точке F , называемой фокусом, соберутся не сами лучи, а их продолжения.

3.9 F=\frac{R}{2} Для построения изображения в выпуклом зеркале нам могут быть полезны 4 луча

\quad Луч, продолжение которого проходит через точку O , при отражении пойдёт также через точку O

\quad Луч параллельный OP после отражения пойдёт так, что его продолжение проходит через фокус

\quad Луч, продолжение которого проходит через фокус после отражения пойдёт параллельно OP

\quad Луч идущий через полюс после отражения идёт симметрично относительно OP .

3.10 Построим изображение какого-либо предмета:

3.11 \begin{aligned}

&* мнимое \\

&* прямое \\

&* уменьшенное

\end{aligned}

Вне зависимости от положения предмета, луч 2 всегда будет совпадать, а луч 1 будет отличаться углом наклона прямой OB к OA . Таким образом, в выпуклом зеркале изображение всегда мнимое, прямое, уменьшенное.

Аналогично можно получить формулу зеркала:

-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}=-\frac{2}{R} Обобщая случаи выпуклого и вогнутого зеркала, запишем:

\frac{1}{d} \pm \frac{1}{f}= \pm \frac{1}{F}= \pm \frac{2}{R} Знак плюс в левой части будет в случае действительного изображения, минус - в случае мнимого. Плюс в левой части будет в случае вогнутого зеркала, минус - в случае выпуклого.

Увеличение

Линейное увеличение k предмета, определяемое отношением размера изображения к размеру предмета (в направлении, перпендикулярном главной оптической оси зеркала) определено формулой

k=\left|\frac{f}{d}\right|, Сферические аберрации

Мы работаем в приближении малых углов, когда \sin \alpha \approx \operatorname{tg} \alpha \approx \alpha . Если же расширить диапазон для \alpha , параллельный пучок, падающий на зеркало, не будет собираться в одной точке: будет образовываться размытое пятно. Чтобы лучи сходились в одной точке необходимо использовать параболическое зеркало:

3.12