Графики в линзах: Часть 1

Видео

Конспект

В предыдущей теме приводилось пять вариантов расположения предметов в построении оптической системы. Для каждого предмета мы давали три характеристики.

Мы построим один график, на котором отразим все возможные виды изображения. Начнем с рассеивающей линзы для тренировки.

Напомним формулу тонкой рассеивающей линзы: -\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}.

График зависимости увеличения изображения от расстояния до предмета. Формула поперечного увеличения: \Gamma=\frac{H_{\text {изобр }}}{h_{\text {пред}}}=\frac{f}{d}.

Выразим формулу \Gamma(d) . Первый шаг - выразить f из формулы тонкой линзы: \begin{gathered}

-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}; \\

\frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{F}; \\

\frac{1}{f}=\frac{F}{d F}+\frac{d}{d F}=\frac{F+d}{d F}; \\

f=\frac{d F}{F+d}.

\end{gathered}

Подставим полученное выражение в формулу \Gamma : \Gamma=\frac{d F}{d(F+d)} ; \Gamma(d)=\frac{F}{F+d}.

Прежде чем строить график, проведем оценки при F - const.

d=0\Rightarrow\Gamma=1 ;

d=F\Rightarrow\Gamma=1 / 2 .

1 Из графика видно, \Gamma никогда не будет больше 1. Рассеивающая линза всегда дает уменьшенное изображение. Кроме этого изображение - прямое, мнимое.

В некоторых случаях для анализа применяется линейная зависимость. Для ее получения в выражении \Gamma(d) мы можем выполнить перестановку числителей со знаменателями и получить выражение 1 / \Gamma(d) : \frac{1}{\Gamma(d)}=\frac{F+d}{F}.

График приобретает линейный вид зависимости:

2 Теперь рассмотрим графики собирающей линзы. Идея аналогичная: нам необходимо провести вывод выражения \Gamma(d) в возможных случаях.

1 случай (Лупа): d<F с формулой тонкой линзы: \frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f} . Выразив расстояние до изображения f , получим: f=\frac{d F}{F-d} .

Выражение \Gamma(d) : \Gamma(d)=\frac{F d}{d(F-d)}=\frac{F}{(F-d)}.

Анализ выражения показывает:

d=0 \Rightarrow \Gamma=1 ;

d=F\Rightarrow в данной асимптоте нет изображения;

d - возраст. \Rightarrow\Gamma- возраст;

d - уменьш. \Rightarrow\Gamma \rightarrow 1 .

2 случай: d > F с формулой: \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f} . Выразив расстояние до изображения f , получим f=\frac{d F}{d-F} .

Выражение \Gamma(d) : \Gamma(d)=\frac{F d}{d(d-F)}=\frac{F}{(d-F)}.

Анализ выражения показывает:

d - уменьш. \Rightarrow \Gamma - возраст.

d - возраст. \Rightarrow \Gamma - уменьш.

Но \Gamma не просто уменьшается. У нас также имеется точка 2F , где \Gamma=1 : \Gamma(d)=\frac{F}{2 F-F}=1.

Выражение возможно доказать графически и аналитически.

Собирающая линза может дать изображение: мнимое и прямое (при 0<d<F ) и действительное и перевернутое (при F<d<2 F<\ldots ), а точками исключения являются точки F (изображения нет) и 2F (\Gamma=1) .

При \Gamma>1 изображение - увеличенное. При \Gamma<1 изображение уменьшенное.

Условие задачи может звучать следующим образом: предмет стоял в точке 1,5 F и перенесли в точку 3F . Что произойдет с изображением? По графику можно сформулировать ответ.

3 Еще одна особенность собирающей линзы - если провести прямую в области \Gamma>1 , то найдутся две точки на оси d , при которых \Gamma=\Gamma_{1}=\Gamma_{2} . При этом одна точка в области d<F , а вторая в области d>F . Вид линейной зависимости приобретает вид:

4 Формулы линейной зависимости 1 / \Gamma(d) :

1. d<F : \frac{1}{\Gamma(d)}=\frac{F-d}{F};

2. d>F : \frac{1}{\Gamma(d)}=\frac{d-F}{F}.

Линейная зависимость 1 / \Gamma(d) выглядит более наглядно, однако по графику \Gamma(d) можно рассмотреть всевозможные случаи. По этой причине, именно такой тип будет использоваться в дальнейшем.