Условие равновесия Часть 1: Условие равновесия

Задача 3

Условие

Из однородной круглой пластинки радиусом R вырезан круг вдвое меньшего радиуса так, как показано на рисунке. Найдите центр тяжести С полученной пластинки.

4 Теория

Для любой системы материальных точек существует воображаемая точка (называемая центром масс), которая движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке.

Решение

5 Пусть новый центр тяжести находится в точке O' , тогда

\begin{aligned}

O': \quad 0 &= -mgx_{\text{ц}} + m_1g\left(x_{\text{ц}} + \frac{R}{2}\right) \\

mx_{\text{ц}} &= m_1\left(x_{\text{ц}} + \frac{R}{2}\right) \\

mx_{\text{ц}} - m_1 x_{\text{ц}} &= m_1 \frac{R}{2} \\

x_{\text{ц}}(m - m_1) &= m_1 \frac{R}{2} \\

m &= \rho \pi R^2 h \\

m_1 &= \rho \pi \frac{R^2}{4} h \\

x_{\text{ц}} \cdot \rho \pi R^2 h \left(1 - \frac{1}{4}\right) &= \rho \pi \frac{R^2}{4} h \frac{R}{2} \\

x_{\text{ц}} \cdot \frac{3}{4} &= \frac{R}{8}

x_{\text{ц}} \cdot 3 = \frac{R}{2} \\

x_{\text{ц}} &= \frac{R}{6}

\end{aligned}

Ответ: на расстоянии \frac{R}{6} от центра диска влево, вдоль горизонтального радиуса

Задача 4

Условие

Три шара радиуса R каждый – цинкованный (плотность \rho_1 ), алюминиевый ( \rho_2 ) и железный ( \rho_3 ) - скреплены в точках касания. Центры шаров расположены вдоль одной прямой. Найти положение центра тяжести относительно центра второго шара.

Решение

\begin{aligned}

\rho_{ц} &= 7,1 \cdot 10^3 \\

\rho_{ал} &= 2,7 \cdot 10^3 \\

\rho_{ж} &= 7,8 \cdot 10^3 \\

V_{ш} &= \frac{4}{3}\pi R^3

\end{aligned} 11 Т.к. мы будем искать центр тяжести этой системы относительно центра алюминиевого шара, то координата центра этого шара будет равна нулю, тогда координата центра цинкового шара равна (-2R), а железного будет равна 2R.

12 Значит: \begin{aligned}

N x_{ц} &= m_{ц}g(-2R) + m_{ал}g \cdot 0 + m_{ж}g 2R \\

(m_{ц}g + m_{ал}g + m_{ж}g)x_{ц} &= -m_{ц}g 2R + m_{ж}g 2R \\

x_{ц} &= \frac{m_{ж} 2R - m_{ц} 2R}{m_{ц} + m_{ал} + m_{ж}} \\

x_{ц} &= \frac{\rho_{ж}V 2R - \rho_{ц}V 2R}{\rho_{ц}V + \rho_{ал}V + \rho_{ж}V} \\

x_{ц} &= \frac{2R(\rho_{ж} - \rho_{ц})}{\rho_{ц} + \rho_{ал} + \rho_{ж}}

\end{aligned}

Ответ: x_{ц} = \frac{2R(\rho_{ж} - \rho_{ц})}{\rho_{ц} + \rho_{ал} + \rho_{ж}}