Условие равновесия Часть 1: Условие равновесия

Задача 1

Условие

На конце стержня длиной l = 30 см прикреплен шар радиусом R = 6 см . На каком расстоянии х. от центра шара находится центр тяжести этой системы, если массы стержня и шара одинаковы?

Решение

2 \begin{aligned}

С: M_1 &= +m_{ст}g\left(\frac{l}{2} + R - x\right) \\

M_2 &= -m_{ш}gx \\

M_1 + M_2 &= 0 \\

M_1 &= M_2 \\

m_{ст}g\left(\frac{l}{2} + R - x\right) &= m_{ш}gx \\

\frac{l}{2} + R - x &= x \\

\frac{l}{2} + R &= 2x \\

x &= \frac{0,5l + R}{2} \\

x &= \frac{0,5 \cdot 30 см + 6 см}{2} = \frac{21 см}{2} = 10,5 см

\end{aligned} Ответ: 10.5 см

Задача 2

Условие

Стержень длиной l = 1 м изготовлен наполовину из свинца, наполовину из железа. Где находится центр тяжести С этого стержня? Плотность свинца 11,2 \cdot 10^3 кг/м^3 , плотность железа 7,8 \cdot 10^3 кг/м^3 .

Решение

3 x – расстояние от центра тяжести стержня до его середины

Из 2 условия равновесия (правила моментов) M_1 + M_2 + M_3 = 0 C: \begin{aligned}

M_1 &= -m_{ж}g\left(\frac{l}{4} + x\right) \\

M_2 &= N \cdot 0 = 0 \\

M_3 &= m_{св}g\left(\frac{l}{4} - x\right) \\

m_{св}g\left(\frac{l}{4} - x\right) &= m_{ж}g\left(\frac{l}{4} + x\right) \\

m_{св}\frac{l}{4} - m_{св}x &= m_{ж}\frac{l}{4} + m_{ж}x \\

\frac{(m_{св} - m_{ж})l}{4} &= (m_{ж} + m_{св})x

\end{aligned} Где m_{св} = \rho_{св}V; \quad m_{ж} = \rho_{ж}V \begin{aligned}

(\rho_{св}V - \rho_{ж}V)\frac{l}{4} &= (\rho_{ж}V + \rho_{св}V)x \\

(\rho_{св} - \rho_{ж})\frac{lV}{4} &= (\rho_{ж} + \rho_{св})xV \\

x &= \frac{(\rho_{св} - \rho_{ж})l}{4(\rho_{ж} - \rho_{св})} \\

x &= \frac{(11,2 \cdot 10^3 - 7,8 \cdot 10^3)}{4(11,2 \cdot 10^3 + 7,8 \cdot 10^3)} = 0,045 м

\end{aligned}

Ответ: 0,045 м