Сюжетные задачи

Сюжетные задачи

Пример 3.1.

ЕГЭ-2022, тренировочный вариант, 18.

Пираты нашли сундук с сокровищами, в котором было 40 монет достоинством 1 дукат и 40 монет достоинством 5 дукатов.

а) Получится ли поделить все эти деньги поровну между 16 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?

б) Получится ли поделить все эти деньги поровну между 30 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?

в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться 0 монет)?

Решение.

а) Каждый должен получить по 15 дукатов. Сначала выдаем монетами по 5 дукатов, потом по одному.

б) Каждый должен получить по 8 дукатов, следовательно, понадобится 90 монет по 1 дукату, а их .

в) В худшем случае каждому нужно выдать по 4 дуката, тогда 40 монет по 1 дукату хватит на 10 человек, а 11-й заберет все остальное, следовательно на 11 человек можно разделить монеты любым способом.

На 12 человек нельзя, так как в худшем случае (нужно 11 человек по 4 дуката) не хватит монет по 1 дукату.

Ответ: а) Да; б) нет; в) 11.

Задача 3.2.

ЕГЭ-2015, тренировочный вариант, C6.

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.

Пример 3.3.

Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 108 см, но не больше 114 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 18 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число l , что любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.

Решение.

а) В лучшем случае наибольшей возможной длины моток веревки разрезали на 18 кусков по 114 см, то есть l_{\max} = 18 \cdot 114 = 2052 см. Поскольку куски обязательно должны быть разной длины, то общая длина l < l_{\max} . Чтобы получить наибольшее число одинаковых стандартных кусков, этот же моток веревки следует разрезать на куски по 108 см. Если разрезать l_{\max} на куски по 108 см, получим k_{\max} = \frac{l_{\max}}{108} = \frac{2052}{108} = 19 . Поскольку l < l_{\max} , то k < k_{\max} = 19 , то есть наибольшее число кусков будет 18.

б) Так как длина стандартного куска варьируется от 108 см до 114 см, то максимально возможное \Delta l = 114 - 108 = 6 см. Чтобы моток веревки можно было разрезать на стандартные куски, нужно, чтобы остаток от деления длины мотка на 108 всегда можно было распределить по имеющимся кускам так, чтобы они оставались стандартными. В худшем случае длина остатка может быть сколь угодно близка к 108 см (но строго меньше 108 см), так как каждый кусок может, как максимум, варьироваться на 6 см, оставаясь при этом стандартным, то для распределения остатка нужно \frac{108}{6} = 18 кусков, а так как длина каждого из них 108, то общая длина 108 \cdot 18 = 1944 см.

Ответ: а) 18; б) 1944.