Поиск натуральных чисел с заданными свойствами

Поиск натуральных чисел с заданными свойствами

Пример 2.1.

Докажите, что если к произвольному трехзначному числу приписать справа его же, то полученное шестизначное число будет делиться на 13.

Доказательство. Пусть данное трехзначное число имеет вид \overline{abc} . Тогда после приписывания получится число \overline{abcabc} . Это число можно представить в виде: \overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1000 + \overline{abc}. Вынесем \overline{abc} за скобки: \overline{abc} \times (1000 + 1) = \overline{abc} \times 1001. Значит, это шестизначное число делится на 1001. Число 1001 является произведением трех простых чисел: 1001 = 7 \times 11 \times 13 . Так как 1001 делится на 13 без остатка, то и все число \overline{abcabc} будет делиться на 13, что и требовалось доказать.

Задача 2.2.

Докажите, что если к произвольному трехзначному числу приписать справа его же, то полученное шестизначное число будет делиться на 11.

Пример 2.3.

ЕГЭ-2013, тренировочный вариант, С6.

Ученик должен был перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в три раза больше истинного. Найдите все три числа.

Решение. Обозначим их a, b, c . Получим уравнение: \frac{1000a+b}{c} = 3\frac{ab}{c} \implies 1000a+b = 3ab .

Отсюда следует, что число b должно делиться на a , т.к. правая часть уравнения делится на a . Т.е. b=ka . 1000a+ka = 3ka^2 \implies 1000+k = 3ak. Поскольку правая часть уравнения делится на 3, то и 1000+k должно делиться на 3. Т.к. a и b - трехзначные числа, то число k не превосходит 9. Указанным условиям могут удовлетворять k=2 , k=5 , k=8 .

1) k=2 \quad 1002 = 6a \implies a=167 \implies b=2 \cdot 167 = 334 .

Т.к. 167 - простое число, то произведение ab может быть разложено на следующие простые множители: ab=2 \cdot 167 \cdot 167 , поэтому пятизначными делителями произведения ab будут либо 167^2=27889 , либо 2 \cdot 167^2=55778 . \boxed{167, 334, 27889} или \boxed{167, 334, 55778}

2) k=5 : 1005 = 15a \implies a=67 , не подходит, т.к. не является трехзначным.

3) k=8 : 1008 = 24a \implies a=42 , не подходит, т.к. не является трехзначным.

Ответ: 167, 334, 27889 или 167, 334, 55778.

Задача 2.4.

ЕГЭ-2013, тренировочный вариант, С6.

Ученик должен был умножить двузначное число на трехзначное и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанные рядом двузначное и трехзначное числа за одно пятизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в два раза больше истинного. Найдите все три числа.

Решение.

Обозначим числа a - двузначное, b - трехзначное, c - пятизначное.

Получим уравнение: \frac{1000a+b}{c} = \frac{2ab}{c} \implies 1000a+b=2ab. Отсюда следует, что b должно делиться на a , т.к. правая часть делится на a и первое слагаемое левой части делится на a , т.е. b=ka , где k - натуральное.

Отсюда 1000a+ka = 2a \cdot ka \implies 1000+k = 2ak .

Т.к. правая часть обязательно четная, то и k обязательно должно быть четным, \implies k=2m , где m - натуральное. \implies 1000+2m=4am \implies 500+m=2am \implies m \quad также \quad четное, \implies m=2l . 500+2l=4al \implies 250+l=2al, \implies l тоже четное, l=2p \implies

125+p=2ap \implies p - нечетное, p=2p_1-1 .

Отсюда получаем k=16p_1-8 , где p_1 - натуральное.

Рассмотрим различные значения p_1

1) p_1=1 \implies k=8

1008=2a \cdot 8 \implies a=63, b=504 .

Составленное из них пятизначное число 63504

63=3 \cdot 3 \cdot 7, 504=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

Учитывая разложения, пятизначными делителями произведения будут 31752, 21168, 15876, 10584 .

т.о., \boxed{63, 504, 31752} \quad \boxed{63, 504, 15876} \boxed{63, 504, 21168} \quad \boxed{63, 504, 10584}

2) p_1=2 \implies k=24

1024 = 2a \cdot 24 - не подходит

3) p_1=3 \implies k=40

1040 = 2 \cdot a \cdot 40

a=13, b=520 = 13 \cdot \cancel{80} \cancel{40} 8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

13520 - нет пятизначного числа, на которое бы делилось.

При увеличении k ситуация будет только хуже.

Ответ: 63, 504 и 10584; 63, 504 и 15876; 63, 504 и 31752; 63, 504 и 21168

Пример 2.5.

ЕГЭ-2020, тренировочный вариант, 19.

Четыре натуральных числа a, b, c, d таковы, что \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 1. а) Могут ли все эти числа быть попарно различны?

б) Может ли одно из этих чисел равняться 7?

в) Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные.

Решение.

а) \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \underbrace{\frac{1}{12} = \frac{1}{3}}_{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2} = 1 Могут.

б) Так как \frac{1}{7} + \frac{1}{42} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6} , то можно свести к предыдущему пункту: \underbrace{\frac{1}{7} + \frac{1}{42}}_{\frac{1}{6}} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 1 Может.

в) Пусть c = d , тогда \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1 \iff bc + ac + 2ab = abc .

Отметим, что все числа не могут быть больше четырех, также все числа

не могут быть меньше четырех, хотя возможен случай \{4; 4; 4; 4\} поскольку среди чисел не может быть 1, получаем, что среди них обязательно будут 2 или 3.

Далее переберем все возможные варианты:

1) a = 2 : abc = bc+ac+2ab \iff 2bc = bc+2c+4b \iff bc-2c-4b = 0 \iff c(b - 2) + 8 - 4b = 8 \iff c(b - 2) - 4(b - 2) = 8 \iff (b - 2)(c - 4) = 8 . Переберем все возможные случаи этого равенства в целых числах, используя делители 8: 8, 4, 2, 1.

a) c = 12, b = 3 \quad \{2; 3; 12; 12\}

б) c = 8, b = 6 \quad \{2; 6; 8; 8\}

в) c = 6, b = 6 \quad \{2; 6; 6; 6\}

г) c = 5, b = 10 \quad \{2; 10; 5; 5\}

2) a = 3 : 3bc = bc + 3c + 6b \iff 2bc - 3c - 6b = 0 \iff 2b(c - 3) + 9 - 3c = 9 \iff 2bc - 3c - 6b = 0 \iff 2b(c - 3) + 9 - 3c = 9 \iff 2b(c - 3) - 3(c - 3) = 9 \iff (c - 3)(2b - 3) = 9 .

a) c = 12, b = 2 \quad \{3; 2; 12; 12\}

б) c = 6, b = 3 \quad \{3; 3; 6; 6\}

в) c = 4, b = 6 \quad \{3; 6; 4; 4\}

a и b во все уравнения входят симметрично, поэтому далее рассмотрим c .

3) c = 2 : 2ab = 2b + 2a + 2ab \iff a + b = 0 . Нет решений в натуральных числах.

4) c = 3 : 3ab = 3b+3a+2ab \iff ab-3b-3a = 0 \iff b(3-a)+9-3a = 9 \iff b(a - 3) - 3(a - 3) = 9 \iff (b - 3)(a - 3) = 9 .

a) b = 12, a = 4 \quad \{4; 12; 3; 3\}

б) b = 6, a = 6 \quad \{6; 6; 3; 3\}

в) b = 4, a = 12 \quad \{12; 4; 3; 3\}

Ответ: а) могут \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{2} = 1 ;

б) может \frac{1}{7} + \frac{1}{42} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 1 ;

в) \{4; 4; 4; 4\} , \{2; 3; 12; 12\} , \{2; 4; 8; 8\} , \{2; 6; 6; 6\} , \{2; 10; 5; 5\} , \{3; 3; 6; 6\} , \{3; 6; 4; 4\} , \{4; 12; 3; 3\} .