Поиск натуральных чисел с заданными свойствами

Задача 2.8. ЕГЭ-2018, тренировочный вариант, №19. а) Приведите пример натурального числа, которое в 15 раз больше суммы своих цифр. б) Существует ли натуральное число, которое в 21 раз больше суммы своих цифр? в) Найдите все натуральные числа, которые в 15873 раза больше суммы своих цифр. Решение. а) Заметим, что $135 = (1 + 3 + 5) \cdot 15$, поэтому годится, например, число 135. б) Заметим, что $378 = (3 + 7 + 8) \cdot 21$, поэтому годится, например, число 378. в) Обозначим сумму цифр числа $n$ за $S(n)$. Получим уравнение: $n = S(n) \cdot 15873$ или $n = S(n) \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$. Заметим, что $n$ делится на 3, значит, и $S(n)$ делится на 3 по признаку делимости. Таким образом, $n$ делится на 9, значит, по признаку делимости, $S(n) = 9x, x \in \mathbb{N}$. При $x = 1$ и $x = 2$ получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если $x = 3$, то $S(n) = 27$ и $n = 428571$. При $x = 4, 5, 6, 7$ получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если $x = 8$, то $S(n) \cdot 15873 = 1142856$ — семизначное число, однако сумма цифр семизначного числа не может быть равна $9x = 72$, то есть верно неравенство $n > S(n) \cdot 15873$. Посмотрим, что происходит при увеличении $x$ на единицу. Сумма цифр увеличивается на 9, то есть количество разрядов числа $n$ увеличивается хотя бы на 1. А $S(n) \cdot 15873$ увеличивается на 142857, то есть не может увеличиться больше чем на разряд. Таким образом, если при каком-то $x$ выполняется неравенство $n > S(n) \cdot 15873$, то и при увеличении $x$ это неравенство останется справедливым. Значит, единственным решением будет число 428571. Ответ: а) 135; б) да; 378; в) 428571.