Поиск натуральных чисел с заданными свойствами

Задача 2.8.

ЕГЭ-2018, тренировочный вариант, №19.

а) Приведите пример натурального числа, которое в 15 раз больше суммы своих цифр.

б) Существует ли натуральное число, которое в 21 раз больше суммы своих цифр?

в) Найдите все натуральные числа, которые в 15873 раза больше суммы своих цифр.

Решение. а) Заметим, что 135 = (1 + 3 + 5) \cdot 15 , поэтому годится, например, число 135.

б) Заметим, что 378 = (3 + 7 + 8) \cdot 21 , поэтому годится, например, число 378.

в) Обозначим сумму цифр числа n за S(n) . Получим уравнение: n = S(n) \cdot 15873 или n = S(n) \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 . Заметим, что n делится на 3, значит, и S(n) делится на 3 по признаку делимости. Таким образом, n делится на 9, значит, по признаку делимости, S(n) = 9x, x \in \mathbb{N} . При x = 1 и x = 2 получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если x = 3 , то S(n) = 27 и n = 428571 . При x = 4, 5, 6, 7 получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если x = 8 , то S(n) \cdot 15873 = 1142856 — семизначное число, однако сумма цифр семизначного числа не может быть равна 9x = 72 , то есть верно неравенство n > S(n) \cdot 15873 . Посмотрим, что происходит при увеличении x на единицу. Сумма цифр увеличивается на 9, то есть количество разрядов числа n увеличивается хотя бы на 1. А S(n) \cdot 15873 увеличивается на 142857, то есть не может увеличиться больше чем на разряд. Таким образом, если при каком-то x выполняется неравенство n > S(n) \cdot 15873 , то и при увеличении x это неравенство останется справедливым.

Значит, единственным решением будет число 428571.

Ответ: а) 135; б) да; 378; в) 428571.