Прогрессии и другие последовательности Часть 2: Прогрессии и другие последовательности

Задача 4.9.

Конечная возрастающая последовательность a_1, a_2, \dots, a_n состоит из n \geqslant 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных k \leqslant n - 2 выполнено равенство 4a_{k+2} = 7a_{k+1} - 3a_k .

а) Приведите пример такой последовательности при n = 5 .

б) Может ли в такой последовательности при некотором n \geqslant 3 выполняться равенство a_n = 4a_2 - 3a_1 ?

в) Какое наименьшее значение может принимать a_1 , если a_n = 527 ?

Ответ: а) например, последовательность 1, 65, 113, 149, 176;

б) нет; в) 2.

Пример 4.10.

Конечная последовательность a_1, a_2, \dots, a_n состоит из n \geqslant 3 не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных k \leqslant n - 2 выполнено равенство a_{k+2} = 2a_{k+1} - a_k + 1 .

а) Приведите пример такой последовательности при n = 5 , в которой a_5 = 5 .

б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

в) При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из двузначных чисел?

Решение.

а) Преобразуем равенство из условия и введем последовательность b_k : \underbrace{a_{k+2} - a_{k+1}}_{=b_{k+1}} = \underbrace{a_{k+1} - a_k}_{=b_k} + 1, \quad b_k = a_{k+1} - a_k. Тогда b_{k+1} = b_k + 1 — арифметическая прогрессия с разностью 1, \begin{aligned}

a_{k+1} &= a_k + b_k = a_1 + \sum_{i=1}^k b_i = a_1 + \frac{2b_1 + (k - 1)}{2}k = \\

&= a_1 + kb_1 + \frac{k(k - 1)}{2}.

\end{aligned} При k = 4 получим a_5 = a_1 + 4b_1 + 6 = 5. Если выбрать a_1 = 7 , то из последнего равенства b_1 = -2 , и, используя формулу для a_{k+1} , получим последовательность 7, 5, 4, 4, 5. Если выбрать a_1 = 3 , то b_1 = -1 , получим еще пример конечной последовательности из натуральных чисел: 3, 2, 2, 3, 5.

б) Пусть некоторое натуральное число встретилось в последовательности три раза. Тогда для некоторых индексов p < q < r выполнены

равенства a_p = a_q = a_r . Из \begin{aligned}

a_p = a_q \implies 0 &= a_q - a_p = b_p + b_{p+1} + \dots + b_{q-1} = \\

&= b_p(q - p) + \frac{1 + (q - 1 - p)}{2}(q - 1 - p) = \\

&= b_p(q - p) + \frac{(q - p)}{2}(q - 1 - p) \implies b_p = -\frac{q - p - 1}{2}.

\end{aligned} Рассуждая совершенно аналогично с a_p и a_r , получим b_p = -\frac{r - p - 1}{2} . Приходим к противоречию, так как q < r , а последовательность b_k возрастет.

в) Последовательность b_k = a_{k+1} - a_k представляет собой арифметическую прогрессию с разностью 1 и характеризует скорость роста последовательности a_k при каждом k . Если существует такое k , что b_k = 0 , то разобьем последовательность \{a_{k+1}, \dots, a_n\} на две части \{a_1, \dots, a_k\} и \{a_{k+1}, \dots, a_n\} . Первая монотонно убывает, так как для каждого i < k выполнено a_{i+1} - a_i = b_i < 0 ; а вторая монотонно возрастает, так как для каждого k < i < n, a_{i+1} - a_i = b_i > 0 . Имеем a_k \ge 10, a_1 \le 99 : \begin{aligned}

a_k &= a_1 + (b_1 + b_2 + \dots + b_{k-1}) = \\

&= a_1 - (1 + 2 + \dots + k - 1) = a_1 - \frac{k(k - 1)}{2} \implies

\end{aligned} \begin{cases}

a_1 - \frac{k(k - 1)}{2} \ge 10 \\

a_1 \le 99

\end{cases}

\iff

\begin{cases}

\frac{k(k - 1)}{2} \le a_1 - 10 \\

a_1 \le 99

\end{cases}

\implies \frac{k(k - 1)}{2} \le 89 \implies k^2 - k = 178 \iff k^2 - k - 178 \le 0 \implies k \le 13.

Для второй части a_k \ge 10, a_n \le 99 : \begin{aligned}

a_k &= a_n - (b_{k+1} + b_{k+2} + \dots + b_n) = a_n - (1 + 2 + \dots n - k - 1) = \\

&= a_n - \frac{1 + n - k - 1}{2}(n - k - 1) = a_n - \frac{(n - k)(n - k - 1)}{2} \implies

\end{aligned} \begin{cases}

a_k \ge 10 \\

a_n \le 99

\end{cases}

\iff

\begin{cases}

a_n - \frac{(n - k)(n - k - 1)}{2} \ge 10 \\

a_1 \le 99

\end{cases}

\iff \begin{cases}

\frac{(n - k)(n - k - 1)}{2} \le a_n - 10 \\

a_1 \le 99

\end{cases}

\implies \frac{(n - k)(n - k - 1)}{2} \le 89 \implies n - k = 13 \implies n \le 13 + k \implies n \le 26.

Если же такого k , что b_k = 0 , нет, то последовательность \{a_1, \dots, a_n\} либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает и рассматривается аналогично первой или второй части. В обоих случаях n \le 13 . Пример последовательности a_k = 88+13(1-k)+ \frac{k(k+1)}{2} при 1 \le k \le 26 показывает, что n может равняться 26. Действительно, тогда последовательность b_k = a_{k+1} - a_k = k - 13 при 1 \le k \le 13 выполнено 10 = a_{13} \le a_k \le a_1 = 88 , а при 14 \le k \le 26 выполнено 10 \le a_{14} \le a_k \le a_{26} \le 88 и, следовательно, все члены последовательности являются двузначными числами. Значит n = 26 .

Ответ: а) Да, например, 7, 5, 4, 4, 5; б) нет; в) 26.