Прогрессии и другие последовательности Часть 2

Задача 4.9. Конечная возрастающая последовательность $a_1, a_2, \dots, a_n$ состоит из $n \geqslant 3$ различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k \leqslant n - 2$ выполнено равенство $4a_{k+2} = 7a_{k+1} - 3a_k$. а) Приведите пример такой последовательности при $n = 5$. б) Может ли в такой последовательности при некотором $n \geqslant 3$ выполняться равенство $a_n = 4a_2 - 3a_1$? в) Какое наименьшее значение может принимать $a_1$, если $a_n = 527$? Ответ: а) например, последовательность 1, 65, 113, 149, 176; б) нет; в) 2. Пример 4.10. Конечная последовательность $a_1, a_2, \dots, a_n$ состоит из $n \geqslant 3$ не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k \leqslant n - 2$ выполнено равенство $a_{k+2} = 2a_{k+1} - a_k + 1$. а) Приведите пример такой последовательности при $n = 5$, в которой $a_5 = 5$. б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза? в) При каком наибольшем $n$ такая последовательность может состоять только из двузначных чисел? Решение. а) Преобразуем равенство из условия и введем последовательность $b_k$: $$ \underbrace{a_{k+2} - a_{k+1}}_{=b_{k+1}} = \underbrace{a_{k+1} - a_k}_{=b_k} + 1, \quad b_k = a_{k+1} - a_k. $$ Тогда $b_{k+1} = b_k + 1$ — арифметическая прогрессия с разностью 1, $$\begin{aligned} a_{k+1} &= a_k + b_k = a_1 + \sum_{i=1}^k b_i = a_1 + \frac{2b_1 + (k - 1)}{2}k = \\ &= a_1 + kb_1 + \frac{k(k - 1)}{2}. \end{aligned}$$ При $k = 4$ получим $$ a_5 = a_1 + 4b_1 + 6 = 5. $$ Если выбрать $a_1 = 7$, то из последнего равенства $b_1 = -2$, и, используя формулу для $a_{k+1}$, получим последовательность 7, 5, 4, 4, 5. Если выбрать $a_1 = 3$, то $b_1 = -1$, получим еще пример конечной последовательности из натуральных чисел: 3, 2, 2, 3, 5. б) Пусть некоторое натуральное число встретилось в последовательности три раза. Тогда для некоторых индексов $p равенства $a_p = a_q = a_r$. Из $$\begin{aligned} a_p = a_q \implies 0 &= a_q - a_p = b_p + b_{p+1} + \dots + b_{q-1} = \\ &= b_p(q - p) + \frac{1 + (q - 1 - p)}{2}(q - 1 - p) = \\ &= b_p(q - p) + \frac{(q - p)}{2}(q - 1 - p) \implies b_p = -\frac{q - p - 1}{2}. \end{aligned}$$ Рассуждая совершенно аналогично с $a_p$ и $a_r$, получим $b_p = -\frac{r - p - 1}{2}$. Приходим к противоречию, так как $q в) Последовательность $b_k = a_{k+1} - a_k$ представляет собой арифметическую прогрессию с разностью 1 и характеризует скорость роста последовательности $a_k$ при каждом $k$. Если существует такое $k$, что $b_k = 0$, то разобьем последовательность $\{a_{k+1}, \dots, a_n\}$ на две части $\{a_1, \dots, a_k\}$ и $\{a_{k+1}, \dots, a_n\}$. Первая монотонно убывает, так как для каждого $i 0$. Имеем $a_k \ge 10, a_1 \le 99$: $$\begin{aligned} a_k &= a_1 + (b_1 + b_2 + \dots + b_{k-1}) = \\ &= a_1 - (1 + 2 + \dots + k - 1) = a_1 - \frac{k(k - 1)}{2} \implies \end{aligned}$$ $$ \begin{cases} a_1 - \frac{k(k - 1)}{2} \ge 10 \\ a_1 \le 99 \end{cases} \iff \begin{cases} \frac{k(k - 1)}{2} \le a_1 - 10 \\ a_1 \le 99 \end{cases} \implies $$ $$ \frac{k(k - 1)}{2} \le 89 \implies k^2 - k = 178 \iff k^2 - k - 178 \le 0 \implies k \le 13. $$ Для второй части $a_k \ge 10, a_n \le 99$: $$\begin{aligned} a_k &= a_n - (b_{k+1} + b_{k+2} + \dots + b_n) = a_n - (1 + 2 + \dots n - k - 1) = \\ &= a_n - \frac{1 + n - k - 1}{2}(n - k - 1) = a_n - \frac{(n - k)(n - k - 1)}{2} \implies \end{aligned}$$ $$ \begin{cases} a_k \ge 10 \\ a_n \le 99 \end{cases} \iff \begin{cases} a_n - \frac{(n - k)(n - k - 1)}{2} \ge 10 \\ a_1 \le 99 \end{cases} \iff $$ $$ \begin{cases} \frac{(n - k)(n - k - 1)}{2} \le a_n - 10 \\ a_1 \le 99 \end{cases} \implies \frac{(n - k)(n - k - 1)}{2} \le 89 \implies $$ $$ n - k = 13 \implies n \le 13 + k \implies n \le 26. $$ Если же такого $k$, что $b_k = 0$, нет, то последовательность $\{a_1, \dots, a_n\}$ либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает и рассматривается аналогично первой или второй части. В обоих случаях $n \le 13$. Пример последовательности $a_k = 88+13(1-k)+ \frac{k(k+1)}{2}$ при $1 \le k \le 26$ показывает, что $n$ может равняться 26. Действительно, тогда последовательность $b_k = a_{k+1} - a_k = k - 13$ при $1 \le k \le 13$ выполнено $10 = a_{13} \le a_k \le a_1 = 88$, а при $14 \le k \le 26$ выполнено $10 \le a_{14} \le a_k \le a_{26} \le 88$ и, следовательно, все члены последовательности являются двузначными числами. Значит $n = 26$. Ответ: а) Да, например, 7, 5, 4, 4, 5; б) нет; в) 26.