Числа на доске на карточках

Пример 6.1.

ЕГЭ-2017, демонстрационный вариант, 19.

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4 , а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8 .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

а) Пусть среди написанных чисел n положительных, k отрицательных и m нулей. Тогда, поскольку среднее арифметическое всех чисел известны 4n - 8k + 0m = -3(n + k + m). \text{(1)} Отсюда вытекает n+k+m \;\vdots\; 4 . Так как на доске более 40 чисел, но менее 48, то их может быть 44 (других чисел, кратных четырем, больших 40, но меньших 48 нет). Таким образом, n + k + m = 44 .

б) Из уравнения (1) также следует 7n + 3m = 5k \;\Rightarrow\; 5k \geq 7n \;\Rightarrow\; k > n, то есть отрицательных чисел должно быть больше.

в) Подставим теперь n + k + m = 44 в уравнение (2), получим 4n - 8k = -3 \cdot 44 \;\Longrightarrow\; n - 2k = -33 \;\Longrightarrow\; n = 2k - 33. \text{(2)} Поскольку всех чисел 44, то n+k \leq 44 . Подставляя в (2), получим 2k - 33 + k \leq 44 \;\Longleftrightarrow\; 3k \leq 77 \;\Longleftrightarrow\; k \leq 25 Следовательно, n = 2k - 33 \leq 50 - 33 = 17. Можно привести следующий пример. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число -8 и два раз написан 0. Тогда указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Пример 6.2.

На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 3.

а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 8, если изначально по одному разу были написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11?

б) Может ли на доске остаться ровно два числа, разность между которыми равна 54, если изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 200 до 299 включительно?

в) Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 200 до 299 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?

Решение.

а) Да, может. Приведем пример. Пусть на доске написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

1) Сотрем 2 и 4; ) Сотрем 6 и 9; ) Сотрем 7 и 8; ) Сотрем 10 и 11.

Останутся числа 3 и 5, сумма которых равна 8.

б) Среди вышенаписанных чисел 33 числа делятся на 3, любые из них можно компоновать в пары и стирать, но одно число обязательно останется. 34 числа имеют при делении на 3 в остатке 2, и оставшиеся 33 числа при делении на 3 имеют в остатке 1. По условию задачи можно стирать пары, где одно число при делении на 3 имеет в остатке 2, а другое — 1 (их сумма делится на 3 без остатка). При этом останется одно число, при делении на 3 имеющее в остатке 2. Таким образом, на доске останется одно число, делящаяся на 3 без остатка и одно число, при делении на 3 имеющее в остатке 2. Их сумма не может быть равна 54, так как 54 делится на 3 без остатка. Нет

в) Согласно сказанному в п. б) должно остаться одно число, при делении на 3 имеющее в остатке 2 и одно число, делящаяся на 3 без остатка. Чтобы частное получилось наибольшим следует взять либо \dfrac{299}{201} , либо \dfrac{297}{200} . Поскольку \dfrac{299}{201} > \dfrac{297}{200} , то наибольшее возможное значение для частного будет \dfrac{299}{201} .

Ответ: а) да; б) нет; в) \dfrac{299}{201} .

Пример 6.3.

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел -1, 2, 4, -6, 7, -8, -10, 12 . Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел -1, 2, 4, -6, 7, -8, -10, 12 . После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение.

а) Поскольку среди чисел нет противоположных, сумма ни на одной из карточек не может равняться нулю. Следовательно, произведение не может равняться нулю.

б) Среди данных чисел только два нечетных, а остальные 6 четных. Следовательно, произведение должно быть четным и не может равняться 1.

в) Поскольку среди данных 8 чисел 6 четных, то хотя бы на четырех карточках с двух сторон должны быть четные числа, следовательно, их произведение должно делиться на 16, то есть наименьшее возможное число — 16. Оно возможно, так как получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (-1;\; 2) \quad (2;\; -1) \qquad (7;\; -8) \quad (-8;\; 7) (4;\; -6) \quad (-6;\; 4) \qquad (-10;\; 12) \quad (12;\; -10)

Ответ: а) нет; б) нет; в) 16.