Прогрессии и другие последовательности Часть 1

Пример 4.1. ЕГЭ-2010, диагностическая работа, С6. Последние члены двух арифметических прогрессий $$ a_1 = 5, \ a_2 = 8, \dots, a_N \ и \ b_1 = 9, \ b_2 = 14, \dots, b_M $$ совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии. Решение. Так как у первой прогрессии разность равна 3, а у второй 5, то у первой будет совпадать каждый пятый, а у второй каждый третий. Первый совпадающий будет 14. Все совпадающие также образуют арифметическую прогрессию с разностью 15. Пусть количество совпадающих $k$. Тогда их сумма $$\begin{aligned} S = \frac{14 + 14 + (k - 1)15}{2}k &= 815 \implies [28 + 15(k - 1)]k = 1630 \implies \\ 15k^2 + 13k - 1630 &= 0 \implies k = \frac{-13 \pm 313}{30} \implies k = 10. \end{aligned}$$ Отсюда $b_M = 14 + 9 \cdot 15 = 149$, $$\begin{aligned} a_N = 149 &= 5 + (N - 1)3 \implies N = 49, \\ & \qquad \qquad \qquad b_M = 149 = 9 + (M - 1)5 \implies N = 29. \end{aligned}$$ Ответ: $N = 49, M = 29$. Пример 4.2. ЕГЭ-2014, тренировочный вариант, С6. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию? Решение. Разложим число 792 на простые множители: $792 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$. Пять членов геометрической прогрессии в общем случае имеют вид: $b_1, b_2 \qquad \qquad = \qquad \qquad b_1q, b_3 \qquad \qquad = \qquad \qquad b_1q^2,$ $b_4 = b_1q^3, b_5 = b_1q^4$ и их произведение $b_1 \dots b_5 = b_1^5 q^{10}$. а) У нас нет ни одного простого множителя (кроме 1), который бы встречался 5 или 10 раз, поэтому 5 чисел не могут образовать геометрическую прогрессию. б) Произведение $b_1b_2b_3b_4 = b_1^4 q^6$. У нас также нет множителя, который бы встречался 4 или 6 раз, ответ . в) $b_1b_2b_3 = b_1^3 q^3$. Можно взять $b_1 = 1, q = 2$. $2, 4, 8$ — геометрическая прогрессия, $9, 11$ — оставшиеся два числа. Ответ . Ответ: а) Нет; б) нет; в) да. Пример 4.3. ЕГЭ-2020, тренировочный вариант, 19. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1905. а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трех членов? в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? Решение. а) Пусть последовательность состоит из вух членов. Тогда она имеет вид $n, 7n$. Сумма равна $8n$. Так как 1905 не делится на 8, то не существует натурального решения уравнения $8n = 1905$. б) Пусть последовательность состоит из трех членов. Возможны случаи: 1) $n, 7n, 49n$. Сумма $57n = 1905$ нет натуральных решений, этот случай не реализуется. 2) $n, 7n, n$. Сумма $15n = 1905 \iff n = 127$. Отсюда последовательность 889, 127, 889. в) По условию все члены последовательности либо четные, либо нечетные. Так как их сумма нечетна, то они все нечетные и их количество нечетно. Рассмотрим два варианта: 1) $n; 7n; n; 7n; \dots; n; 7n; n$ (возвращающая последоваетльность не рассматривается, так как нужно максимальное число членов). Пусть всего членов $2k+1$. Тогда сумма $8nk+n = 1905$. Чтобы увеличить количество возьмем $n = 1: 8k + 1 = 1905 \iff 8k = 1904 \iff k = 238$. Отсюда число членов $2k + 1 = 477$. 2) $7n; n; 7n; n; \dots; 7n; n; 7n$ логично не рассматривать, так как здесь будет меньше членов. Ответ: а) Нет; б) да, например, 889, 127, 889; в) 477.