Решение уравнений с целыми неизвестными
Математика, 11 класс
1 Уравнения в целых числах Решение уравнений с целыми неизвестными Пример 1.1. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55. Решение. Запишем условия в виде уравнения n^2 -...
1 Уравнения в целых числах
Решение уравнений с целыми неизвестными
Пример 1.1.
Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.
Решение.
Запишем условия в виде уравнения
n^2 - k^2 = 55 \iff (n - k)(n + k) = 55 \iff . На множестве натуральных чисел \begin{bmatrix}
\begin{cases} n - k = 1 \\ n + k = 55 \end{cases} \\
\begin{cases} n - k = 5 \\ n + k = 11 \end{cases}
\end{bmatrix}
\iff
\begin{bmatrix}
\begin{cases} n = 28 \\ k = 27 \end{cases} \\
\begin{cases} n = 8 \\ k = 3 \end{cases}
\end{bmatrix} Ответ: (28; 27), (8; 3).
Задача 1.2.
Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 15.
Решение.
Пусть n и k — искомые натуральные числа ( n, k \in \mathbb{N} ). По условию: n^2 - k^2 = 15 Разложим левую часть по формуле разности квадратов: (n - k)(n + k) = 15 Поскольку n и k — натуральные числа, то (n - k) и (n + k) являются целыми числами. Более того, так как n + k > 0 , а их произведение равно 15 (положительное число), то и n - k должно быть положительным. Значит, n - k > 0 , откуда n > k .
Таким образом, нам нужно найти пары натуральных множителей числа 15. Число 15 можно разложить на множители двумя способами: 1. 15 = 1 \cdot 15
2. 15 = 3 \cdot 5
Так как n > 0 и k > 0 , то n + k > n - k . Это дает нам две возможные системы уравнений: \begin{bmatrix}
\begin{cases} n - k = 1 \\ n + k = 15 \end{cases} \\
\begin{cases} n - k = 3 \\ n + k = 5 \end{cases}
\end{bmatrix}
\iff
\begin{bmatrix}
\begin{cases} 2n = 16 \implies n = 8 \\ k = 15 - n = 7 \end{cases} \\
\begin{cases} 2n = 8 \implies n = 4 \\ k = 5 - n = 1 \end{cases}
\end{bmatrix} Оба решения (8; 7) и (4; 1) состоят из натуральных чисел и удовлетворяют условию.
Ответ: (8; 7), (4; 1).
Пример 1.3.
ЕГЭ-2011, тренировочный вариант, С6.
Решите уравнение xy + 2x + 3y = 7 в целых числах.
Решение.
Преобразуем уравнение: \begin{aligned}
xy + 2x + 3y &= 7 \iff x(y + 2) + 3y = 7 \iff \\
x(y + 2) &+ 3(y + 2) - 6 = 7 \iff (x + 3)(y + 2) = 13.
\end{aligned} Так как x и y — целые и 13 — простое число, то отсюда следует \begin{bmatrix}
\begin{cases} x + 3 = 13 \\ y + 2 = 1 \end{cases} \\
\begin{cases} x + 3 = 1 \\ y + 2 = 13 \end{cases} \\
\begin{cases} x + 3 = -13 \\ y + 2 = -1 \end{cases} \\
\begin{cases} x + 3 = -1 \\ y + 2 = -13 \end{cases}
\end{bmatrix}
\iff
\begin{bmatrix}
\begin{cases} x = 10 \\ y = -1 \end{cases} \\
\begin{cases} x = -2 \\ y = 11 \end{cases} \\
\begin{cases} x = -16 \\ y = -3 \end{cases} \\
\begin{cases} x = -4 \\ y = -15 \end{cases}
\end{bmatrix}
Ответ: (10; -1), (-2; 11), (-16; -3), (-4; -15).
Задача 1.4.
Решите уравнение xy + 3x - y = 6 в целых числах.
Решение.
Решение \begin{aligned}
xy+3x-y=6 &\iff x(y+3)-(y+3)=6-3 \iff \\
(y+3)(x-1)&=3 \iff
\end{aligned} \iff
\begin{bmatrix}
\begin{cases} y+3=1 \\ x-1=3 \end{cases} \\
\begin{cases} y+3=-1 \\ x-1=-3 \end{cases} \\
\begin{cases} y+3=3 \\ x-1=1 \end{cases} \\
\begin{cases} y+3=-3 \\ x-1=-1 \end{cases}
\end{bmatrix}
\iff
\begin{bmatrix}
(4; -2) \\ \\
(-2; -4) \\ \\
(2; 0) \\ \\
(0; -6)
\end{bmatrix}
Ответ: (4; -2), (-2; -4), (2; 0), (0; -6).
Задача 1.5.
МГУ, 1997. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворяющие уравнению 3xy + 14x + 17y + 71 = 0.
Решение.
Решение. Сгруппируем слагаемые \begin{aligned}
3xy+15y+14x+2y+71&=0 \\
3y(x+5)+14(x+5)-70+2y+71&=0 \\
(3y+14)(x+5)+2y&=-1
\end{aligned} Чтобы коэффициент при y оказался кратным 3, домножим последнее уравнение на 3: \begin{aligned}
3(3y+14)(x+5)+6y&=-3 \\
3(3y+14)(x+5)+2(3y+14)&=-3+28 \\
(3y+14)(3x+15+2)&=25 \\
(3y+14)(3x+17)&=25
\end{aligned} \begin{bmatrix}
\begin{cases} 3y+14=1 \\ 3x+17=25 \end{cases} & нет \quad целых \quad решений \\
\begin{cases} 3y+14=5 \\ 3x+17=5 \end{cases} & \begin{cases} x=-4 \\ y=-3 \end{cases} \\
\begin{cases} 3y+14=25 \\ 3x+17=1 \end{cases} & нет \quad целых \quad решений \\
\begin{cases} 3y+14=-1 \\ 3x+17=-25 \end{cases} \iff & \begin{cases} x=-14 \\ y=-5 \end{cases} \\
\begin{cases} 3y+14=-5 \\ 3x+17=-5 \end{cases} & нет \quad целых \quad решений \\
\begin{cases} 3y+14=-25 \\ 3y+17=-1 \end{cases} & \begin{cases} x=-6 \\ y=-13 \end{cases}
\end{bmatrix}
Ответ: (-4; -3), (-14; -5), (-6; -13).