Решение уравнений с целыми неизвестными

Пример 1.6. Решите уравнение в натуральных числах уравнение $$ 2k^2 + 7k = 2mk + 3m + 36. $$ Решение. Сгруппируем подчеркнутые слагаемые $$ 2k^2 + 7k = 2mk + 3m + 36 \iff 2k(k - m) + 7k - 3m = 36. $$ Разобьем $7k$ на два слагаемых: $$\begin{aligned} 2k(k - m) + 3k - 3m + 4k &= 36 \iff \\ 2k(k - m) + 3(k - m) + 4k &= 36 \iff (k - m)(2k + 3) + 4k = 36. \end{aligned}$$ Прибавим к обеим частям уравнения 6, чтобы в левой части у последнего слагаемого появился множитель $2k + 3$: $$\begin{aligned} (k - m)(2k + 3) + 4k + 6 &= 36 + 6 \iff \\ (k - m)(2k + 3) + 2(2k + 3) &= 42 \iff (2k + 3)(k - m + 2) = 42. \end{aligned}$$ Разложим 42 на простые множители: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$. При натуральных $k$ $(2k + 3)$ может равняться либо 7, либо 21. 1) При $2k + 3 = 7 \implies k = 2$. При этом $k - m + 2 = 6 \implies 4 - m = 6$ — не имеет натуральных решений. 2) при $2k + 3 = 21 \implies k = 9$. При этом $k - m + 2 = 2 \implies 11 - m = 2 \implies m = 9$. Ответ: $k = 9, m = 9$. Задача 1.7. Дополнительная Решите в целых числах уравнение $$ 2x^2 - 2xy + 9x + y = 2. $$ Решение. $$\begin{aligned} 2x^2-2xy+9x+y=2 &\iff 2x(x-y)+(-x+y)+10x=2 \\ (x-y)(2x-1)+10x=2 &\iff \\ (x-y)(2x-1)+5(2x-1)&=2-5 \iff \\ \iff (2x-1)(x-y+5)&=-3 \iff \end{aligned}$$ $$ \begin{bmatrix} \begin{cases} 2x-1=-3 \\ x-y+5=1 \end{cases} \\ \begin{cases} 2x-1=3 \\ x-y+5=-1 \end{cases} \\ \begin{cases} 2x-1=-1 \\ x-y+5=3 \end{cases} \\ \begin{cases} 2x-1=1 \\ x-y+5=-3 \end{cases} \end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} \begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases} \\ \begin{cases} x=2 \\ y=8 \end{cases} \\ \begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases} \\ \begin{cases} x=1 \\ y=9 \end{cases} \end{bmatrix} $$ Ответ: (-1; 3), (2; 8), (0; 2), (1; 9). Пример 1.8. Решите уравнение в целых числах $$ 2y^2 - 11xy + 15x^2 = 13. $$ Решение. Разложим левую часть на множители $$ 2y^2 - 11xy + 15x^2 = 0 \implies y = \frac{11 \pm 1}{4}x. $$ Отсюда $$ 2(y - 3x)\left(y - \frac{5}{2}x\right) = 13 \iff (y - 3x)(2y + 5x) = 13 $$ $$ \begin{bmatrix} \begin{cases} y - 3x = 13 \\ 2y - 5x = 1 \end{cases} \\ \begin{cases} y - 3x = 1 \\ 2y - 5x = 13 \end{cases} \\ \begin{cases} y - 3x = -13 \\ 2y - 5x = -1 \end{cases} \\ \begin{cases} y - 3x = -1 \\ 2y - 5x = -13 \end{cases} \end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} \begin{cases} x = -25 \\ y = -62 \end{cases} \\ \begin{cases} x = 11 \\ y = 34 \end{cases} \\ \begin{cases} x = 25 \\ y = 62 \end{cases} \\ \begin{cases} x = -11 \\ y = -34 \end{cases} \end{bmatrix} $$ Ответ: (-25; -62), (25; 62), (11; 34), (-11; -34). Задача 1.9. Дополнительная Решите уравнение в целых числах $$ x^2 - 3xy + 2y^2 = 3. $$ Решение. Решение. Разложим левую часть на мн-ли: $$\begin{aligned} (x-y)(x-2y)&=3 \iff \\ \end{aligned}$$ $$ \begin{bmatrix} \begin{cases} x-y=1 \\ x-2y=3 \end{cases} \\ \begin{cases} x-y=3 \\ x-2y=1 \end{cases} \\ \begin{cases} x-y=-1 \\ x-2y=-3 \end{cases} \\ \begin{cases} x-y=-3 \\ x-2y=-1 \end{cases} \end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} \begin{cases} x=-1 \\ y=-2 \end{cases} \\ \begin{cases} x=5 \\ y=2 \end{cases} \\ \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} \\ \begin{cases} x=-5 \\ y=-2 \end{cases} \end{bmatrix} $$ Ответ: (-1; -2), (5; 2), (1; 2), (-5; -2). Пример 1.10. ЕГЭ-2011, тренировочный вариант, С6. Решите в натуральных числах уравнение $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{239}. $$ Решение. Домножим обе части на $239xy$ и приравняем числители. Получим $$\begin{aligned} 239(x + y) &= xy \iff xy - 239x - 239y = 0 \iff \\ x(y - 239) &- 239(y - 239) - 239^2 = 0 \iff \\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \quad (x - 239)(y - 239) = 239^2. \end{aligned}$$ Так как 239 — простое число, то отсюда следует $$ \begin{bmatrix} \begin{cases} x - 239 = 1 \\ y - 239 = 239^2 \end{cases} \\ \begin{cases} x - 239 = 239 \\ y - 239 = 239 \end{cases} \\ \begin{cases} x - 239 = 239^2 \\ y - 239 = 1 \end{cases} \end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} \begin{cases} x = 240 \\ y = 239 \cdot 240 \end{cases} \\ \begin{cases} x = 478 \\ y = 478 \end{cases} \\ \begin{cases} x = 239 \cdot 240 \\ y = 240 \end{cases} \end{bmatrix} $$ Ответ: (240; $239 \cdot 240$), (478; 478), ($239 \cdot 240$; 240). Задача 1.11. Решите в натуральных числах уравнение $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}. $$ Решение. $$\begin{aligned} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} &= \frac{1}{2} \quad | \times 2xy \\ 2y+2x&=xy \iff xy-2x-2y=0 \iff \\ x(y-2)-2y&=0 \iff x(y-2)-2(y-2)=4 \iff \\ \iff (x-2)(y-2)&=4 \iff \end{aligned}$$ $$ \begin{bmatrix} \begin{cases} x-2=1 \\ y-2=4 \end{cases} \\ \begin{cases} x-2=2 \\ y-2=2 \end{cases} \\ \begin{cases} x-2=4 \\ y-2=1 \end{cases} \end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} \begin{cases} x=3 \\ y=6 \end{cases} \\ \begin{cases} x=4 \\ y=4 \end{cases} \\ \begin{cases} x=6 \\ y=3 \end{cases} \end{bmatrix} $$ Ответ: (3; 6), (4; 4), (6; 3).