Средние значения и рейтинги

Пример 7.1.

Олимпиада «Ломоносов-2007», 10.

В течение четверти учитель по пению ставил школьникам оценки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическое всех оценок Вовочки оказалось равным в точности 3{,}5 . И тогда, по предложению Вовочки, учитель заменил одну его оценку «4» парой оценок «3» и «5». Докажите, что от этого средняя оценка Вовочки по пению увеличилась. Найдите наибольшее возможное значение её после такой замены:

а) одной оценки «4»;

б) всех его оценок «4».

Ответ: а) 3\dfrac{2}{3} ; б) 3\dfrac{8}{11} .

Пример 7.2.

В результате опроса выяснилось, что примерно 58 а) Могло ли в опросе участвовать ровно 40 человек?

б) Могло ли в опросе участвовать ровно 48 человек?

в) Какое наименьшее количество человек могло участвовать в этом опросе?

Решение.

а) Если в опросе участвовало n человек, то по условию задачи числа n_1 = 0{,}58n и n_2 = 0{,}42n должны удовлетворять неравенствам 0{,}575n \leq n_1 < 0{,}585n, \qquad 0{,}415n \leq n_2 < 0{,}425n. Проверим их справедливость для n = 40 : 23 \leq 23{,}2 < 23{,}4 16{,}6 \leq 16{,}8 < 17. Неравенству 16{,}2 \leq n_2 < 17 не удовлетворяет ни одно натуральное число, поэтому 40 человек не могли участвовать в опросе.

б) Если n = 48 , имеем 27{,}6 \leq n_1 < 28{,}8 19{,}92 \leq n_2 < 20{,}4. В данном случае натуральные числа n_1 = 28 и n_2 = 20 удовлетворяют неравенствам, следовательно в опросе могло участвовать 48 человек.

в) Подберем число n таким образом, чтобы существовали целые n_1 и n_2 , удовлетворяющие неравенствам 0{,}575n \leq n_1 < 0{,}585n, \qquad 0{,}415n \leq n_2 < 0{,}425n. Подбором находим, что минимальное n равно 12.

Ответ: а) нет; б) да; в) 12.