Средние значения и рейтинги

Пример 7.3. ЕГЭ-2015, основной вариант, С6. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого участника является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 73 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось. а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл учеников, не сдавших тест, понизился? б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл учеников, сдавших тест, понизился, и средний балл учеников, не сдавших тест, тоже понизился? в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 80, средний балл учеников, сдавших тест, составил 90, а средний балл учеников, не сдавших тест, составил 65. После добавления баллов средний балл учеников, сдавших тест, стал равен 93, а не сдавших — 69. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация? Решение. а) Пусть было 3 участника, которые исходно набрали 90, 72 и 2 балла. Средний балл участников, не сдавших тест, $\dfrac{72 + 2}{2} = 37$ баллов. После добавления баллов у участников стало 95, 77 и 7 баллов. Таким образом, средний балл участников, не сдавших тест, составил 7 баллов. Да . б) В примере п. а) средний балл участников, сдавших тест, первоначально составлял 90 баллов, а после добавления составил $\dfrac{95 + 77}{2} = 86$ баллов. Да . в) Пусть всего было $N$ участников, исходно сдали $x$, после добавления сдали $y$. Без ограничения общности можно получить систему уравнений $$ \begin{cases} 80N = 65(N - x) + 90x, \\ 85N = 69(N - y) + 93y, \end{cases} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} 16N = 13(N - x) + 18x, \\ 85N = 69(N - y) + 24y, \end{cases} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} 3N = 5x, \\ 2N = 3y. \end{cases} $$ Таким образом, $N \;\vdots\; 5$, $N \;\vdots\; 3$. Минимальное $N$, удовлетворяющее этим условиям, равно 15, следовательно, $x = 9$, $y = 10$. То есть сдали тест 9 человек, пусть они набрали по 90 баллов, тогда после добавления у них будет 95 баллов, отсюда $$ \frac{95 \cdot 9 + 1 \cdot z}{10} = 93 \;\Longrightarrow\; z = 930 - 95 \cdot 9 = 75. $$ Пусть добавился 1 ученик с $z$ баллами, следовательно, до добавления у него было 70 баллов. Так как средний балл заваливших был 65 (было 6 человек), то $$ \frac{A \cdot 5 + 70}{6} = 65 \;\Rightarrow\; A + 14 = 13 \cdot 6 \;\Rightarrow\; A = 64. $$ То есть 5 участников исходно получили по 64 балла. Таким образом, все условия выполнены, 15 человек . Ответ: а) да; б) да; в) 15. Пример 7.4. После того, как учитель доказал классу новую теорему, выяснилось, что большая часть класса не поняла доказательство. На перемене один ученик вдруг понял доказательство (и только он). Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек. а) Могло ли получиться так, что теперь уже меньшая часть класса не понимает доказательство? б) Могло ли получиться так, что исходно процент учеников, понявших доказательство, выражался целым числом, а после перемены — нецелым числом? в) Какое наибольшее целое значение может принять процент учеников класса, так и не понявших доказательство этой теоремы? Решение. а) Могло: если в классе 21 человек и из них 11 сперва не поняли доказательство (больше половины класса), на перемене один понял, и тогда их осталось 10 (меньше половины класса). Да . б) Да . Пусть в классе было 30 учеников, из которых 12 поняли доказательство. Тогда процент исходно понявших 40 в) Пусть всего в классе $n$ учеников, из них $k$ так и не поняли доказательство. Тогда искомый процент будет $\dfrac{100k}{n}$, $k \leq n-1$. Чтобы процент был наибольшим нужно сделать максимальной дробь $\dfrac{k}{n}$ при условии, что $100k \;\vdots\; n$. Чтобы дробь принимала максимальное значение, $n$ и $k$ должны быть как можно больше. Рассмотрим значения $n$ от 30 и меньше. 1) $n = 30 \Rightarrow k = 27$ (ближайшее кратное 3-м, меньшее 30). Тогда $$ \frac{k}{n} = \frac{27}{30} = \frac{9}{10}. $$ 2) $n = 29$ — невозможно, так как 29 — простое число, не существует $k 3) $n = 28 \Rightarrow k = 21$ (ближайшее кратное 7-ми, меньше 28). $$ \frac{k}{n} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}. $$ 4) $n = 27$ — невозможно, так как три тройки больше негде взять. 5) $n = 26 \Rightarrow k = 13$. Тогда $$ \frac{k}{n} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}. $$ 6) $n = 25 \Rightarrow k = 24$ (выбрано максимальное, меньшее $n$, кратность за счет 100). Тогда $$ \frac{k}{n} = \frac{24}{25} = 96\ $$ — при дальнейшем уменьшении $n$ получим только меньше. Ответ: а) да; б) да; в) 96.