Решение уравнений с целыми неизвестными

Пример 1.12.

ЕГЭ-2014, тренировочный вариант, С6.

Решите в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k^2, где n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n .

Решение.

Если n \ge 5 , то число n! + 5n \ \vdots \ 5 , поэтому оно может заканчиваться либо на 0, либо на 5. Отсюда следует, что n! + 5n + 13 заканчивается либо на 3, либо на 8. Поскольку квадрат натурального числа не может заканчиваться ни на 3, ни на 8, то при n \ge 5 данное уравнение решений не имеет. Чтобы проверить n < 5 воспользуемся перебором

1^\circ \ n = 1: 1 + 5 + 13 = 19 = k^2 нет решений;

2^\circ \ n = 2: 2 + 10 + 13 = 25 = k^2 \implies k = 5 ;

3^\circ \ n = 3: 6 + 15 + 13 = 34 = k^2 нет решений;

4^\circ \ n = 4: 24 + 20 + 13 = 57 = k^2 нет решений.

Ответ: n = 2, k = 5 .

Задача 1.13.

Решите в натуральных числах уравнение 1! + 2! + 3! + \dots + n! = k^2.

Решение.

\begin{aligned}

1! &= 1 \quad \implies \boxed{n=k=1} \\

1!+2! &= 3 = k^2 - нет реш. \\

1!+2!+3! &= 9 = k^2 \iff \boxed{n=k=3} \\

1!+2!+3!+4! &= 33 = k^2 - нет реш. \\

1!+2!+3!+4!+5! &= 153 = k^2 - нет реш.

\end{aligned} Далее все факториалы заканчиваются на 0, \Rightarrow все суммы заканчиваются на 3. Поскольку нет квадратов натуральных чисел, заканчивающихся на 3, больше нет решений.

Ответ: n = k = 1, n = k = 3 .

Пример 1.14.

ЕГЭ-2019, основной вариант, 19.

Известно, что квадратное уравнение x^2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня.

а) Найдите все возможные значения p , если q = 26 .

б) Найдите все возможные значения q , если q + p = 72 .

в) Найдите все возможные значения корней уравнения, если q^2 - p^2 = 2812 .

Решение.

а) По теореме Виета для квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 произведение корней x_1 \cdot x_2 = q = 26 \implies

1) x_1 = 1 ) x_1 = 1 (опечатка автора, д.б. x_1 = 2 )

x_2 = 26 x_2 = 13

\boxed{p = -27} \boxed{p = -15}

б) Вновь воспользуемся теоремой Виета: \begin{aligned}

q + p &= 72 \iff x_1x_2 - x_1 - x_2 = 72 \iff \\

x_1(x_2 - 1) &- (x_2 - 1) = 72 + 1 \iff (x_1 - 1)(x_2 - 1) = 73.

\end{aligned} Так как 73 — простое число, а корни натуральные, то \begin{cases} x_1 - 1 = 1 \\ x_2 - 1 = 73 \end{cases}

\iff

\begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 74 \end{cases}

\implies \boxed{q = 2 \cdot 74 = 148.}

в) Опять воспользуемся теоремой Виета \begin{aligned}

q^2 - p^2 &= 2812 \iff (q - p)(q + p) = 2812 \iff \\

&(x_1x_2 + x_1 + x_2)(x_1x_2 - x_1 - x_2) = 2812 = 2 \cdot 2 \cdot 19 \cdot 37.

\end{aligned} Поскольку вариантов достаточно много, наложим условия, чтобы отбросить те варианты, которые заведомо не реализуются.

Отметим, что числа q - p и q + p отличаются друг от друга на четное число, поэтому они одинаковой четности. Так как среди множителей

правой части две двойки, то они оба четные, но не кратные четырем. Тогда возможны два случая \begin{cases}

x_1x_2 + x_1 + x_2 = 2 \cdot 37 \\

x_1x_2 - x_1 - x_2 = 2 \cdot 19 --- меньше

\end{cases} \begin{cases}

x_1x_2 + x_1 + x_2 = 2 \cdot 37 \cdot 19 \\

x_1x_2 - x_1 - x_2 = 2

\end{cases}

Рассмотрим первый случай \begin{aligned}

(1.1) \iff

&\begin{cases}

x_1(x_2 + 1) + (x_2 + 1) = 74 + 1 \\

x_1(x_2 - 1) - (x_2 - 1) = 38 + 1,

\end{cases} \iff \\

&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \begin{cases}

(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 75 \\

(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 39. \tag{1.3}

\end{cases}

\end{aligned}

Начнем со второго уравнения, поскольку оно проще \begin{bmatrix}

\begin{cases} x_1 - 1 = 1 \\ x_2 - 1 = 39 \end{cases} \\

\begin{cases} x_1 - 1 = 3 \\ x_2 - 1 = 13 \end{cases}

\end{bmatrix}

\iff

\begin{bmatrix}

\begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 40 \end{cases} \\

\boxed{\begin{cases} x_1 = 4 \\ x_2 = 14 \end{cases}}

\end{bmatrix} Первая пара корней не удовлетворяет первому уравнению системы (1.3), поэтому отбрасывается.

Рассмотрим второй случай \begin{aligned}

(1.2) \iff

&\begin{cases}

x_1(x_2 + 1) + (x_2 + 1) = 1406 + 1, \\

x_1(x_2 - 1) - (x_2 - 1) = 2 + 1,

\end{cases} \iff \\

&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \begin{cases}

(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 1407, \\

(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 3. \tag{1.4}

\end{cases}

\end{aligned}

Так же начнем со второго уравнения системы (1.4) (x_1 - 1)(x_2 - 1) = 3 \iff \begin{cases} x_1 - 1 = 1, \\ x_2 - 1 = 3, \end{cases} \iff \begin{cases} x_1 = 2, \\ x_2 = 4. \end{cases} Полученные значения не удовлетворяют первому уравнению системы (1.4), поэтому отбрасываются.

Ответ: а) -27 или -15 ; б) 148; в) 4 и 14.

Задача 1.15.

ЕГЭ-2019, резервный вариант, 19.

Квадратное уравнение x^2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня.

а) Найдите все возможные значения p , если q = 55 .

б) Найдите все возможные значения q , если q + p = 30 .

в) Найдите все возможные значения корней уравнения, если q^2 - p^2 = 2108 .

Ответ: а) -56 или -16 ; б) 64; в) 6 и 8.