Поиск натуральных чисел с заданными свойствами

Пример 2.6. ЕГЭ-2020, тренировочный вариант, 19. Известно, что $a, b, c, d$ — попарно различные двузначные числа. а) Может ли выполняться равенство $$ \frac{a + c}{b + d} = \frac{7}{19} ? $$ б) Может ли дробь $\frac{a + c}{b + d}$ быть в 11 раз меньше, чем сумма $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$? в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac{a + c}{b + d}$, если $a > 3b$ и $c > 6d$? Решение. а) Подходят, например, $a = 13, b = 15, c = 35, d = 41$: $\frac{13 + 15}{35 + 41} = \frac{28}{76} = \frac{7}{19}$. (или $a = 10, b = 20, c = 11$ и $d = 37$: $\frac{10 + 11}{20 + 37} = \frac{21}{57} = \frac{7}{19}$) б) Предположим, что выполнено. Тогда $11 \cdot \frac{a + c}{b + d} = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \iff 11(a + c)bd = ad(b+d)+bc(b+d) \iff 11abd+11bcd = abd+ad^2+b^2c+bcd \iff 10abd + 10bcd = ad^2 + b^2c \iff ad(\underbrace{10b}_{\ge 100} - \underbrace{d}_{\le 99}) = bc(\underbrace{b}_{\le 99} - \underbrace{10d}_{\ge 100})$ Отсюда следует, что числа слева и справа обязательно имеют разные знаки. в) По условию $3b + 1 \le a \le 99 \implies b \le \frac{98}{3} \implies b \le 32$ $6d + 1 \le c \le 98$ $d \ge 10$ $b \ge 11$ $\frac{a + c}{b + d} \ge \frac{3b + 1 + 6d + 1}{b + d} = 3 + \frac{3d + 2}{b + d} \ge 3 + \frac{3d + 2}{32 + d} = 3\frac{3d + 96 - 94}{32 + d} = 6 - \frac{94}{32 + d} \ge 6 - \frac{94}{32 + 10} = 6 - \frac{94}{42} = \frac{79}{21}$ Данное отношение реализуется при $a = 97, b = 32, c = 61$ и $d = 10$. Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{79}{21}$. Пример 2.7. ЕГЭ-2020, тренировочный вариант, 19. а) Приведите пример натурального числа, которое в 12 раз больше суммы своих цифр. б) Существует ли натуральное число, которое в 11 раз больше суммы своих цифр? в) Найдите все натуральные числа, которые в 1812 раз больше суммы своих цифр. Решение. а) $S(n) \cdot 12 = n \implies n \ \vdots \ 3 \implies S(n) \ \vdots \ 3 \implies n \ \vdots \ 9 \implies n \ \vdots \ 36$. Рассмотрим числа, кратные 36: 36, 72, — для него выполнено. б) Рассмотрим числа, кратные 11. меньше 100 числа не подходят (могут подойти четные, так как до 100 сумма цифр обязательно четна), проверяется прямым перебором. Далее 110, 121, 132, …, Да в) $n = 1812 \cdot S(n), \implies n \ \vdots \ 3 \implies S(n) \ \vdots \ 3$ $n \ \vdots \ 9 \implies S(n) \ \vdots \ 9 \implies n \ \vdots \ 27$ $n = 1812 \cdot 9 = 16308, S(n) \neq 9$ $n = 1812 \cdot 18 = 32616, S(n) = 18$ $n = 1812 \cdot 27 = 48924, S(n) = 27 \quad n = 1812 \cdot 36 = 65232, S(n) = 18$ $n = 1812 \cdot 45 = 81540, S(n) = 18$ Далее сумма цифр $S(n)$ числа $n$ остается меньше второго множителя, поэтому существуют всего два таких числа. Ответ: а) 108; б) да, например, 198; в) 32616; 48924.