Сюжетные задачи

Пример 3.4.

ЕГЭ-2012, основной вариант, С6

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \frac{3}{10} от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \frac{5}{12} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Решение.

а) Так как мы имеем ограничение сверху на количество мальчиков, то, чтобы его ослабить, предположим, что каждый из мальчиков сходил либо в кино, либо в театр, а девочки ходили и в кино, и в театр. Пусть в театр ходили m_1 мальчиков и 8 девочек. Так как мальчиков было не более \frac{3}{10} от общего количества участников, то получаем неравенство: m_1 \le \frac{3}{10}(m_1 + 8) \iff \frac{7}{10}m_1 \le \frac{24}{10} \iff m_1 \le \frac{24}{7} \implies m_1 = 3 (как максимум), то есть трое мальчиков как максимум могли посетить театр в условиях задачи. Проверим, могли ли посетить кино оставшиеся 5 мальчиков: 5 \le \frac{5}{12}(5+8) – неравенство верное, поэтому в группе могло быть 8 мальчиков и 8 девочек.

б) Проверим, огло ли быть в группе 9 мальчиков. Пусть в театр ходили m_1 мальчиков и 7 девочек: m_1 \le \frac{3}{10}(m_1 + 7) \iff \frac{7}{10}m_1 \le \frac{21}{10} \iff m_1 \le 3 . Таким образом, театр могло, как максимум, посетить снова лишь трое мальчиков. Проверим, могли ли в условиях задачи 6 мальчиков сходить в кино: 6 \le \frac{5}{12}(6 + 8) – неравенство неверное, поэтому в кино не могло быть 6-ти мальчиков (а тем более и большего количества). Таким образом, в группе могло быть лишь 8 мальчиков.

в) Пусть в театре были m_1 мальчиков и d девочек. Имеем неравенство: m_1 \le \frac{3}{10}(m_1 + d) \iff \frac{7}{10}m_1 \le \frac{3}{10}d \iff \frac{3}{7}d \ge m_1 . Пусть в кино были m_2 мальчиков и d девочек. Имеем неравенство: m_2 \le \frac{5}{12}(m_2 + d) \iff \frac{7}{12}m_2 \le \frac{5}{12}d \iff \frac{5}{7}d \ge m_2 . Сложим неравенства: \begin{aligned}

\frac{3}{7}d &\ge m_1 \\

+ \quad \frac{5}{7}d &\ge m_2 \\

\hline

\frac{15}{7}d &\ge m_1 + m_2 + d \implies d \ge \frac{7}{15}(m_1 + m_2 + d)

\end{aligned}

То есть наименьшая возможная доля девочек \frac{7}{15} .

Ответ: а) да, могло быть; б) 8 мальчиков; в) \frac{7}{15} .

Задача 3.5.

ЕГЭ-2012, основной вариант, С6

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \frac{2}{11} от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \frac{2}{5} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Ответ: а) да, могло быть; б) 9 мальчиков; в) \frac{9}{17} .

Пример 3.6.

ЕГЭ-2017, тренировочный вариант, С6.

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 46, а вместе солдат меньше чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б) Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?

в) Сколько в роте может быть солдат?

Решение.

а) Например, 50 и 60 солдат по 10 человек в ряду.

б) Необходимо, чтобы в обеих ротах было количество человек, кратное 13. Но два наименьших числа, кратных 13 и больших 46, это числа 52 и

65, чья сумма составляет 117, что есть больше, чем 111. Следовательно, пришли к противоречию.

в) Из пункта б) известно, что 13 солдат в одном ряду быть не может. Легко проверить, что 14, 15 также быть не может. Большее количество также быть не может, так как тогда общее количество будет больше, чем 48 \cdot 2 + 16 = 112 . Значит, нужно проверять только варианты 9, 10, 11 и 12 человек в ряду.

Пусть 9 солдат в ряду. Тогда возможное общее количество таких людей 99 или 108. Предположим, что их 99, тогда в первом взводе может быть 47, 48, 49 человек, во втором — 52, 51, 50 человек соответственно. Ни одна из этих пар не делится на 9, поэтому данное решение не подходит.

Для 108 людей в роте: первый взвод — 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53 второй — 61, 60, 59, 58, 57, 56 55. Так же как и в первом случае получили, что подходящих пар, делящихся на 9, нет.

Пусть 10 солдат в ряду, тогда в роте может быть 100 и 110 человек. Выполняя аналогичное рассуждение, получаем, что в роте не может быть 100 человек, но может быть 110 (как показано в пункте 1).

Пусть 11 солдат в ряду. В роте может быть 99 и 110 человек. Выше показано, что 99 человек в роте быть не может, а 110 человек может.

Пусть 12 солдат в ряду, тогда в роте может быть 96 и 108 человек. Для 96 человек в роте решений нет, для 108 человек в роте в первом взводе — 48 человек, во втором — 60, что удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) Например, 50 и 60; б) нет; в) 108 и 110.