Сюжетные задачи

Пример 3.7.

Красный карандаш стоит 18 рублей, синий — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть.

а) Можно ли купить 30 карандашей?

б) Можно ли купить 33 карандаша?

в) Какое наибольшее число карандашей можно купить?

Решение.

Начнем с последнего пункта

в) Пусть красных карандашей n_k , синих — n_c . Подберем натуральные n_k и n_c , удовлетворяющие системе неравенств: \begin{aligned}

14n_c + 18n_k &\le 499 \quad (1) \\

n_c - n_k &\le 5 \qquad\ \! (2)

\end{aligned} (В лучшем варианте синих карандашей больше)

(2) \iff n_c \le 6 + n_k \le 499 \implies 32n_k \le 415 . n_k \le 12, n_c \le 18 . Отметим, что мы получили грубую оценку сверху, ее нужно еще уточнить.

12 красных карандашей стоят 216 рублей, 18 синих карандашей стоят 252 рубля. В сумме они обойдутся в 468 рублей, поэтому имеющихся денег (499 рублей) хватит на еще один красный карандаш: 499 - 468 - 31 рубль.

Данной суммы на два карандаша не хватит, а если купить синий, нарушится условие. Таким образом можно купить максимум : 13 красных и 18 синих.

а) , например, 12 красных и 18 синих.

б) нет

Ответ: а) да; б) нет; в) 31.

Пример 3.8.

Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед с целыми сторонами, контейнеры — прямоугольные параллелепипеды с размерами 1 \times 1 \times 3 м . Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.

а) Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером 120 кубометров нельзя?

б) Может ли оказаться, что на склад объемом 100 кубометров не удастся поместить 33 контейнера?

в) Пусть объем склада равен 800 кубометров. Какой процент объема такого склада удастся гарантировано заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?

Решение.

а) Так как объем склада 120 м^3 , одно из измерений склада кратно трем. Будем класть контейнеры длинной стороной вдоль этого измерения. Таким образом, вдоль него полностью уместится целое число контейнеров. Вдоль остальных измерений лягут измерения контейнеров длины 1 м, поэтому указанным образом склад гарантированно удастся упаковать полностью.

б) Рассмотрим склад с размерами 2 \times 2 \times 25 м . Очевидно, что длинную сторону контейнера можно поместить только вдоль длинной стороны склада. При этом поместится не более восьми контейнеров, то есть поместится максимум 32 контейнера и еще 4 м^3 объема останется свободно.

в) Покажем, что 99 \% объема склада 2 \times 2 \times 200 \text{ м} можно заполнить контейнерами. Положим 66 контейнеров длинной стороной вдоль двухсотметровой стороны склада. Рядом с ними положим второй ряд из 66 контейнеров. На полученные два нижних ряда положим такие же два верхних ряда. Незаполненным останется пространство 2 \times 2 \times 2 \text{ м} или 1\% объема склада. \\

Осталось показать, что при любой другой конфигурации склада получится заполнить не менее 99\% объема. Действительно, пусть сторона а склада a \times b \times c \text{ м} не меньше трех. Отделим от нее участок склада со стороной 3, то есть с размерами 3 \times b \times c \text{ м} . Его можно заполнить контейнерами без пустот. Продолжаем отделять такие участки, пока не останется параллелепипед с измерениями, не превосходящими 2 \times 2 \times 2 . Это и означает, что пустом пространством останется не более 8 из 800 кубометров.

Ответ: а) нет; б) да; в) 99\% .

Пример 3.9.

ЕГЭ-2013, досрочный экзамен, 19.

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Решение.

а) Чтобы полностью загрузить грузовик глыбами по 800 кг, следует положить 5 глыб по 800 кг и 1 глыбу по 1000 кг. Таким образом, в 10 грузовиков уместятся все глыбы по 800 кг и 10 глыб по 1000 кг. Чтобы загрузить полностью грузовик глыбами по 1500 кг, следует положить две глыбы по 1500 кг и 2 глыбы по 1000 кг. Поскольку глыб по 1000 кг осталось 50 штук, то так можно укомплектовать 25 грузовиков. Останется 10 глыб по 1500 кг. Их можно увезти четырмя грузовиками, например, загрузив в первые три по три глыбы и в последний одну. Таким образом, хватит 39 грузовиков, следовательно 60 грузовиков точно будет более, чем достаточно.

б) Суммарная масса глыб равна 50 \cdot 800 + 50 \cdot 1000 + 60 \cdot 1500 = 190000 кг, то есть в точности совпадает с грузоподъемностью 38 грузовиков. Следовательно, если возможно увезти эти глыбы на 38 грузовиках, то каждый грузовик должен быть полностью загружен, как показано в п. а), если в каком-то грузовике есть глыба массой 800 кг, то единственная возможность загрузить его полностью — добавить еще 4 таких глыбы и одну глыбу 1000 кг. Но тогда не удастся полностью загрузить грузовики глыбами по 1500 кг (глыб по 1000 кг не хватит для полной загрузки). Таким образом, на 38 грузовиках увезти глыбы \fbox{нельзя} .

в) В п. а) показано, что 39 грузовиков хватит, а в п. б), что 38 грузовиков — не достаточно. Следовательно, минимальное количество грузовиков — 39 штук.

Ответ: а) да; б) нет; в) 39.

Пример 3.10.

Трое друзей играли в шашки. Один из них сыграл 25 игр, а другой — 17 игр. Мог ли третий участник сыграть

а) 34;

б) 35;

в) 56 игр?

Ответ: а) да; б) нет; в) нет.