Свойства света и квантование

Часть 1: Излучение нагретого тела. Видео

Часть 1: Излучение нагретого тела

Исторически первые шаги в квантовую физику были связаны с изучением того, как атомы излучают и поглощают свет. Первой задачей, при решении которой появилась идея квантования, была задача об изучении нагретых тел (теплового излучения). В этом случае спектр излучения (так обычно называют набор частот или длин волн монохроматических гармоник, входящих в состав излучения) является сплошным, причем длина волны, соответствующая максимуму интенсивности излучения, была очень просто связана с температурой тела - согласно закону смешения, открытому экспериментально Вильгельмом Вином в 1893 году, \lambda_{\max }=\frac{b}{\mathrm{~T}} , где постоянная Вина \mathrm{b} \approx 2898 мкм \cdot К. Формулу Вина не удавалось вывести из классических соображений, даже с использованием очень сложных моделей.

Мощность теплового излучения, испускаемого с единицы площади, тоже зависит от температуры, как выяснил экспериментально Иозеф Стефан в 1879 году: \mathrm{J}=\frac{\Delta \mathrm{E}_{\mathrm{rad}}}{\Delta \mathrm{S} \Delta \mathrm{t}}=\sigma \cdot \mathrm{T}^{4} . Здесь постоянная Стефана-Больцмана \sigma \approx 5,67 \cdot 10^{-8} \text{Bт} /\left(\text{м}^{2} \cdot \mathrm{K}^{4}\right) . В этом случае Людвигу Больцману удалось в 1884 году объяснить такую зависимость от температуры в рамках термодинамики, но ему пришлось предположить, что электромагнитное излучение можно рассматривать как газ (то есть как систему невзаимодействующих частиц в МКТ), что было не вполне понятно с точки зрения классической теории электромагнитных явлений (теории Максвелла). И к тому же этот частичный успех не решал всех проблем описания теплового обучения. В частности, не удавалось корректно оценить величину постоянной Стефана-Больцмана.

Разберем ситуацию более подробно. Для этого рассмотрим электромагнитное излучение внутри нагретой «пустой» кубической полости ( \mathrm{L} \times \mathrm{L} \times \mathrm{L} ) в проводнике, находящееся в тепловом равновесии с веществом при температуре T . По классическим представлениям, для достижения теплового равновесия в полости необходимо было возбудить все возможные гармоники электромагнитных колебаний (стоячие электромагнитные волны), сообщив каждой необходимую для равновесия энергию. В рамках статистического подхода самим Больцманом было доказано, что в состоянии теплового равновесия на каждую степень свободы приходится энергия, в среднем равная \frac{\mathrm{kT}}{2} (теорема Больцмана). Одна мода колебаний по динамике похожа на линейный (одномерный) гармонический осциллятор подобно пружинному маятнику. Полная энергия такого маятника состоит из кинетической энергии груза и потенциальной энергии пружины, средние (по времени) значения которых равны друг другу. Так что, если средняя кинетическая энергия равна \frac{\mathrm{kT}}{2} , то средняя полная энергия осциллятора равна kT . Но таких стоячих волн может быть бесконечно много!

Поскольку электрическое поле в идеальный проводник не проникает, то на всех границах полости поле обращается в ноль - на них располагаются «узлы» стоячих электромагнитных волн. Следовательно, самая низкочастотная из возможных гармоник - с длиной волны, равной удвоенной длине полости, следующая - с равной длине полости, потом -2 / 3 длины полости и так далее: \lambda_{\mathrm{n}}=\frac{2 \mathrm{~L}}{\mathrm{n}} , где \mathrm{n}=1,2,3 \ldots .

Таким образом, для достижения равновесия полю нужно при конечной температуре сообщить бесконечную энергию. Это приводило к абсурдному выводу, что равновесие между телом и излучением невозможно (эту ситуацию в те годы даже назвали «ультрафиолетовой катастрофой»).

Определите наименьшую возможную частоту стоячей электромагнитной волны в кубической полости с ребром L = 1 см внутри проводника. Ответ запишите в ГГц ( 10^9 Гц) с точностью до целого значения.

Определите среднюю полную энергию «элементарного осциллятора» с температурой T = 8000 К и выразите ее в электронвольтах (эВ). Постоянная Больцмана k \approx 1{,}38\cdot 10^{-23} Дж/К. Ответ запишите с точностью до сотых.