Свойства света и квантование

Излучение нагретого тела, Гипотеза квантования энергии, Фотоэффект, ... Решение этой проблемы предложил Макс Планк в 1900 году. Он ввел требование квантования энергии, согласно которому для возбуждения каждой гармоники необходимо сообщать излучению энергию порциями («квантами» - от латинского «quantum» «сколько»), пропорциональными частоте гармоники: \(\mathrm{E}=\mathrm{h} v=\frac{\mathrm{h}}{2 \pi} \omega \equiv \hbar \omega\) (эту формулу позднее назвали формулой Планка, а коэффициент пропорциональности h - постоянной Планка). Тогда при конечной сообщенной полю энергии всегда будет возбуждаться конечное число гармоник. В самом деле, частота гармоники с номером n равна \(v_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{c}}{\lambda_{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{c}}{2 \mathrm{~L}} \mathrm{n}\) . Для возбуждения энергия кванта не должна быть заметно больше kT . Примем для оценки, что \(\mathrm{h} v_{\mathrm{n}} \leq \mathrm{f} \cdot \mathrm{kT}\) , где число f несколько больше 1 . Из этого требования получаем, что \(\mathrm{n} \leq \mathrm{f} \frac{2 \mathrm{LkT}}{\mathrm{hc}} \equiv \mathrm{n}_{\max }\) . Так как электромагнитные колебания в кубической полости могут происходить по трем направлениям, и все эти три направления равноправны, то полное число возбуждаемых колебаний (мод) равно \(\mathrm{N}=\mathrm{n}_{\max }^{3}\) . В среднем на каждую моду должна приходиться энергия \(kT\) , так что полная энергия равновесного излучения в полости с нагретыми стенками конечна: \(\mathrm{W}=\mathrm{kT} \cdot \mathrm{N}=8 \mathrm{f}^{3} \mathrm{~L}^{3} \frac{\mathrm{k}^{4} \mathrm{~T}^{4}}{\mathrm{~h}^{3} \mathrm{c}^{3}} .\) Планк избежал «ультрафиолетовой катастрофы» и определил объемную плотность энергии равновесного излучения \(\mathrm{w}=\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{L}^{3}}=8 \mathrm{f}^{3} \frac{\mathrm{k}^{4} \mathrm{~T}^{4}}{\mathrm{~h}^{3} \mathrm{c}^{3}}\) , которая оказалась зависящей только от температуры. Более того - мы проводили оценочные вычисления, а Планк (с использованием более сложной математики и методов теоретической физики) показал, что условие равновесия излучения и вещества приводит к формуле для мощности теплового излучения, испускаемого с единицы площади, совпадающей с формулой Стефана-Больцмана: \[\mathrm{J}=\frac{\mathrm{c}}{4} \mathrm{w}=\frac{2 \pi^{5} \mathrm{k}^{4}}{15 \mathrm{c}^{2} \mathrm{~h}^{3}} \cdot \mathrm{T}^{4}.\] Как видно, точный расчет Планка дает результат, совпадающий с нашим оценочным при \(\mathrm{f}=\left(\frac{\pi^{5}}{15}\right)^{1 / 3} \approx 2,73\) , что выглядит довольно разумным. Но ведь это означает, что постоянную Планка можно выразить через величины, определенные в экспериментах (постоянную Больцмана, скорость света и постоянную Стефана-Больцмана): \(\mathrm{h}=\left(\frac{2 \pi^{5} \mathrm{k}^{4}}{15 \mathrm{c}^{2} \sigma}\right)^{1 / 3}\) . Но на этом поразительные результаты гипотезы Планка не закончились: в рамках этой модели Планку удалось описать распределение энергии равновесного излучения по спектру (то есть в зависимости от частоты). Из этого распределения аналитически получается закон смещения Вина, что позволяет определить h через постоянную Вина, постоянную Больцмана и скорость света: если ввести величину \(\mathrm{z} \approx 4,965\) , являющуюся корнем уравнения \(\frac{\mathrm{Z}}{5}=1-\mathrm{e}^{-\mathrm{z}}\) , то \(\mathrm{h}=\mathrm{z} \frac{\mathrm{kb}}{\mathrm{C}}\) . При этом обе полученные формулы приводят к одинаковому численному значению постоянной Планка \(\mathrm{h} \approx 6,62 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) c! Это привлекло к гипотезе Планка внимание физиков, и в начале XX века ее очень активно обсуждали пробовали использовать при решении многих сложных задач. Именно тогда введенный Планком квант электромагнитного излучения назвали фотоном (т.е. «частицей света»).