Свойства света и квантование

Часть 2: Гипотеза квантования энергии. Видео

Часть 2: Гипотеза квантования энергии

Решение этой проблемы предложил Макс Планк в 1900 году. Он ввел требование квантования энергии, согласно которому для возбуждения каждой гармоники необходимо сообщать излучению энергию порциями («квантами» - от латинского «quantum» «сколько»), пропорциональными частоте гармоники: \mathrm{E}=\mathrm{h} v=\frac{\mathrm{h}}{2 \pi} \omega \equiv \hbar \omega (эту формулу позднее назвали формулой Планка, а коэффициент пропорциональности h - постоянной Планка). Тогда при конечной сообщенной полю энергии всегда будет возбуждаться конечное число гармоник. В самом деле, частота гармоники с номером n равна v_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{c}}{\lambda_{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{c}}{2 \mathrm{~L}} \mathrm{n} . Для возбуждения энергия кванта не должна быть заметно больше kT . Примем для оценки, что \mathrm{h} v_{\mathrm{n}} \leq \mathrm{f} \cdot \mathrm{kT} , где число f несколько больше 1 . Из этого требования получаем, что \mathrm{n} \leq \mathrm{f} \frac{2 \mathrm{LkT}}{\mathrm{hc}} \equiv \mathrm{n}_{\max } . Так как электромагнитные колебания в кубической полости могут происходить по трем направлениям, и все эти три направления равноправны, то полное число возбуждаемых колебаний (мод) равно \mathrm{N}=\mathrm{n}_{\max }^{3} . В среднем на каждую моду должна приходиться энергия kT , так что полная энергия равновесного излучения в полости с нагретыми стенками конечна: \mathrm{W}=\mathrm{kT} \cdot \mathrm{N}=8 \mathrm{f}^{3} \mathrm{~L}^{3} \frac{\mathrm{k}^{4} \mathrm{~T}^{4}}{\mathrm{~h}^{3} \mathrm{c}^{3}} . Планк избежал «ультрафиолетовой катастрофы» и определил объемную плотность энергии равновесного излучения \mathrm{w}=\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{L}^{3}}=8 \mathrm{f}^{3} \frac{\mathrm{k}^{4} \mathrm{~T}^{4}}{\mathrm{~h}^{3} \mathrm{c}^{3}} , которая оказалась зависящей только от температуры. Более того - мы проводили оценочные вычисления, а Планк (с использованием более сложной математики и методов теоретической физики) показал, что условие равновесия излучения и вещества приводит к формуле для мощности теплового излучения, испускаемого с единицы площади, совпадающей с формулой Стефана-Больцмана:

\mathrm{J}=\frac{\mathrm{c}}{4} \mathrm{w}=\frac{2 \pi^{5} \mathrm{k}^{4}}{15 \mathrm{c}^{2} \mathrm{~h}^{3}} \cdot \mathrm{T}^{4}.

Как видно, точный расчет Планка дает результат, совпадающий с нашим оценочным при \mathrm{f}=\left(\frac{\pi^{5}}{15}\right)^{1 / 3} \approx 2,73 , что выглядит довольно разумным. Но ведь это означает, что постоянную Планка можно выразить через величины, определенные в экспериментах (постоянную Больцмана, скорость света и постоянную Стефана-Больцмана): \mathrm{h}=\left(\frac{2 \pi^{5} \mathrm{k}^{4}}{15 \mathrm{c}^{2} \sigma}\right)^{1 / 3} . Но на этом поразительные результаты гипотезы Планка не закончились: в рамках этой модели Планку удалось описать распределение энергии равновесного излучения по спектру (то есть в зависимости от частоты). Из этого распределения аналитически получается закон смещения Вина, что позволяет определить h через постоянную Вина, постоянную Больцмана и скорость света: если ввести величину \mathrm{z} \approx 4,965 , являющуюся корнем уравнения \frac{\mathrm{Z}}{5}=1-\mathrm{e}^{-\mathrm{z}} , то \mathrm{h}=\mathrm{z} \frac{\mathrm{kb}}{\mathrm{C}} .

При этом обе полученные формулы приводят к одинаковому численному значению постоянной Планка \mathrm{h} \approx 6,62 \cdot 10^{-34} Дж \cdot c! Это привлекло к гипотезе Планка внимание физиков, и в начале XX века ее очень активно обсуждали пробовали использовать при решении многих сложных задач. Именно тогда введенный Планком квант электромагнитного излучения назвали фотоном (т.е. «частицей света»).

Максимум спектральной плотности (то есть мощности, приходящейся на малый заданный диапазон длин волн) излучения Солнца приходится на длину волны 501 нм. Считая, что вещество фотосферы Солнца находится в равновесии с его излучением, оцените температуру фотосферы. Ответ запишите в К с точностью до сотен.

Найдите массу равновесного теплового излучения в полости объемом 100 м ^3 при температуре 100000 К. Ответ запишите в нг ( 1 нг = 10^{-9} г) с точностью до целого значения.