Атомы и молекулы - системы из ядер и электронов

Часть 1: Классификация состояний электрона в атоме водорода. Видео

Часть 1: Классификация состояний электрона в атоме водорода

При построении теории атома водорода Бором было изучено плоское движение электрона по круговой орбите. Напомним, что условие отбора стационарных состояний (условие Бора) имело вид: r \cdot p=\hbar \cdot n(n \in Z) . Для плоского кругового движения массивной точки величина, стоящая в левой части этого равенства, совпадает с величиной проекции момента импульса на ось, перпендикулярную плоскости вращения (в классической механике для материальной точки это - векторная величина, определяемая соотношением \vec{L} \equiv[\vec{r} \times \vec{p}] , а для тела это векторная сумма моментов импульса его «точечных» частей). В школьном курсе для плоских движений часто проекцию вектора момента импульса рассматривают как алгебраическую величину - произведение модуля импульса на его «плечо» (расстояние от начала координат до линии движения тела), взятое со знаком плюс или минус в зависимости от направления вращения точки вокруг начала координат. Таким образом, мы обнаруживаем, что момент импульса, связанный с движением электрона вокруг ядра (его в физике микромира называют орбитальным моментом), играет в атомной физике очень важную роль. Само условие квантования Бора можно сформулировать как условие отбора допустимых значений проекции орбитального момента L_{z}=\hbar \cdot n(n \in Z) . Так как атом водорода - явно нерелятивистская система, то основную роль в его поведении играет электростатическое взаимодействие ядра и электрона - роль магнитных взаимодействий мала. Ядро и электрон в атоме можно считать практически точечными зарядами, так что это взаимодействие описывается законом Кулона и сферически симметрично. Поэтому ясно, что условие квантования z -проекции должно относиться к любой проекции \vec{L} . Отличие ситуации в квантовой физике состоит в том, что разные проекции ненулевого момента импульса одновременно неизмеримы (как, например, координата и импульс) - измерение L_{x} «безнадежно портит» результаты предшествующих измерений L_{y} или L_{z} . Оказывается, что одновременно с компонентами \vec{L} можно измерять только скалярные величины (не изменяющиеся при поворотах системы координат). Например, одновременно с L_{z} можно измерять скалярный квадрат орбитального момента \vec{L}^{2} . При этом L_{z} должно принимать значения, целые кратные \hbar , а значения \vec{L}^{2} связаны с квадратом постоянной Планка: \vec{L}^{2}=\hbar^{2} l(l+1) , где l=0,1,2 \ldots . Отметим, что ненулевое значение квадрата орбитального момента связано с «вращательной» добавкой в кинетическую энергию электрона. Поэтому при зафиксированной энергии E_{n}=\frac{E_{1}}{n^{2}} (где E_{1} \approx-13,6 эВ ) электрона квадрат орбитального момента не может быть произвольно большим - оказывается, что при энергии допустимые значения l=0, \ldots, n-1 . Аналогично при заданном \vec{L}^{2} проекции момента импульса не могут произвольно большими, и L_{z}=\hbar \cdot m , где допустимые значения m=-l, \ldots,+l . Ядро намного тяжелее электрона (масса почти в 2000 раз больше), так что можно считать, что центр масс атома практически совпадает с ядром, и можно изучать состояния атома как состояния точечного электрона, движущегося относительно ядра. Это движение трехмерно, и мы понимаем, что для фиксации состояния этого движения нужно измерить три независимые одновременно измеримые наблюдаемые. В результате приходим к выводу, что состояние атома водорода можно охарактеризовать набором наблюдаемых из энергии E_{n}=-\frac{m k^{2} e^{4}}{2 \hbar^{2} n^{2}} , скалярного квадрата орбитального момента \vec{L}^{2}=\hbar^{2} l(l+1) и его проекции на произвольно выбранную «выделенную» ось z L_{z}=\hbar \cdot m . Нельзя забывать, что, помимо состояния движения, у электрона еще есть спиновое состояние, которое можно «зафиксировать» измерением проекции спина электрона на ось z, которая принимает значения \pm 1 / 2 . Как видно, все стационарные состояния атома водорода можно «занумеровать» четырьмя квантовыми числами n=1,2, \ldots, l=0,1,2 \ldots, n-1, m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots и m_{s}= \pm 1 / 2 . Логично их обозначить \left|n I m m_{s}\right\rangle . Нетрудно подсчитать, что:

состояний с одинаковыми n, l и m - два (по числу значений m_{s} );

состояний с одинаковыми n и l-2 \cdot(2 l+1) (по числу значений m и m_{s} );

состояний с заданным n (то есть с данной энергией) -2 n^{2} .

Последнее значение получено суммированием 2 \cdot(2 l+1) по всем допустимым l с помощью формулы суммы арифметической прогрессии: 2 \cdot[1+3+\ldots+(2 n-1)]=2 \cdot \frac{(2 n-1+1) n}{2}=2 n^{2} . Например, разных состояний электрона в атоме водорода с энергией E_{3}=-\frac{m k^{2} e^{4}}{18 \hbar^{2}} \approx-1,5 эВ - целых 18!

Есть обстоятельство, которое нужно обсудить особо. Конечно, на самом деле при изменении орбитального момента точки, движущейся в поле центральных сил, у этой точки должна изменяться энергия - ведь с изменением L изменяется кинетическая энергия «вращательной» компоненты движения (в общем случае кинетическую энергию можно вычислять как сумму энергий «радиального» и «вращательного» движений). Ясно, что у связанного в атоме электрона оба эти движения происходят в конечной по размерам области, и энергии - квантованы, то есть принимают дискретный набор значений. У каждой из них уровни можно занумеровать своим квантовым числом: для радиальных движений -n (обозначим его так и назовем «радиальным»»), а для вращательных движений, как мы должны понимать, энергия должна зависеть от квадрата угловой скорости (то есть от \vec{L}^{2} ), и для нумерации уровней энергии можно использовать квантовое число l (его называют «орбитальным»»). Таким образом, при движении квантовой частицы, «связанной» центрально-симметричным полем, уровни энергии должны нумероваться двумя квантовыми числами - например, E=E(n, l) . То, что в атоме водорода (как мы поняли из анализа спектра) они зависят только от одного квантового числа есть некоторое «специфическое» свойство, связанное с конкретным законом взаимодействия электрона и ядра. И в самом деле, в модели Бора использовались закон Кулона и нерелятивистская механика. Но ведь они лишь приближенно (хоть и с хорошей точностью) описывают реальность - не учитываются магнитные взаимодействия, релятивистские поправки и так далее. Поэтому даже в атоме водорода при более детальном анализе спектра были найдены небольшие отличия от модели Бора. Например, в модели Бора все 8 состояний с n=2 (среди которых, как можно подсчитать, 2 соответствуют l=0 и 6-l=1 ) имеют одинаковые энергии, а на самом деле 4 из состояний l=1 отличается по энергии от четырех остальных (меньше чем на 0,1 мэВ), да и внутри этой «второй четверки» есть расщепление на две «пары» (еще почти на порядок меньше). Небольшие изменения спектра наблюдаются и при воздействии на атом внешних электрических или магнитных полей.

Найдите количество разных состояний электрона в атоме водорода, удовлетворяющих двум требованиям: энергия электрона E = -\frac{mk^2e^4}{8\hbar^2} \approx -3{,}4 эВ, скалярный квадрат орбитального момента \vec{L}^2 = 2\hbar^2 .

Найдите количество разных состояний электрона в атоме водорода, удовлетворяющих двум требованиям: энергия электрона E = -\frac{mk^2e^4}{18\hbar^2} \approx -1{,}5 эВ, проекция орбитального момента на ось z L_z = +\hbar .