Изучение процессов в физике микромира.

Задача 1

Условие

Экспериментатор наблюдает движение капли масла с массой m=1,50 \cdot 10^{-11} г между двумя рисками в поле зрения микроскопа в установившемся режиме (с постоянной скоростью). При падении в отсутствие электрического поля время движения между рисками оказалось равно t_{1} \approx 5,00 с. После включения однородного вертикального электрического поля с напряженностью E \approx 17,4 кВ/м капля начала подниматься и прошла между теми же рисками вверх в установившемся режиме за время t_{2} \approx 7,50 с. Определите заряд капли. Запишите его величину в виде x \cdot 10^{-19} Кл и укажите в ответе x с точностью до целого значения. Ускорение свободного падения считайте равным g \approx 9,81 м/с ^{2} , силу сопротивления воздуха, действующую на каплю, считайте пропорциональной скорости (с постоянным коэффициентом пропорциональности).

Решение

В установившемся режиме капля движется с постоянными скоростями, и сумма приложенных к ней сил равна нулю. Пусть, согласно условию, сила сопротивления воздуха \vec{F}_{c}=-\alpha \cdot \vec{v} , где \alpha= const. Тогда скорость движения капли вниз удовлетворяет условию \alpha \cdot v_{1}=m g , а скорость ее движения вверх - условию \alpha \cdot v_{2}=q E-m g .(где q - величина искомого заряда капли). Следовательно, \frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{q E}{m g}-1 . С другой стороны, оба раза капля проходит одно и то же расстояние s между рисками, то есть s=v_{1} t_{1}=v_{2} t_{2} \Rightarrow \frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{t_{1}}{t_{2}} . Из двух полученных соотношений следует, что \frac{q E}{m g}=1+\frac{t_{1}}{t_{2}} \Rightarrow q=\frac{m g}{E}\left(1+\frac{t_{1}}{t_{2}}\right) \approx 1,4095 \cdot 10^{-17} Кл. Таким образом, x \approx 141 . Если учесть, что заряд должен быть кратен элементарному, то можно заметить, что \frac{140,95}{1,602} \approx 87,984 (и при этом точность данных позволяет нам рассчитывать на три правильные значащие цифры в ответе), то есть можно понять, что скорее всего q=88 e .

Ответ x \approx 141 . (q=88 e) .

Задача 2

Условие

Из электростатики известно, что зависимость потенциала \varphi поля шара с зарядом Q и радиусом R от расстояния r до центра шара определяется выражением: \varphi(r)=

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\frac{Q}{8 \pi \varepsilon_{0} R}\left[3-\frac{r^{2}}{R^{a}}\right],&r<R \\

&\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r},&r \geq R

\end{aligned}

\end{cases}. Пусть в рамках модели Томсона для нейтрального атома с номером Z=79 электроны распределены равномерно по объему в шаре радиусом R=0,1 нм, а положительный заряд распределен равномерно по объему в шаре радиусом R / 10 . Пренебрегая отдачей атома, найдите максимальную энергию \alpha -частицы, налетающей на такой атом, при которой эта частица может отразиться от атома. Выразите эту энергию в МэВ.

Решение

Частицы могут отразиться, если внутри атома происходит ее остановка - ее кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию ее заряда в поле атома. В рамках предложенной модификации модели Томсона потенциал электрического поля атома в, в соответствии с принципом суперпозиции, есть сумма потенциалов облаков положительного заряда +Z e радиусом R / 10 и отрицательного -Z e с радиусом R . Нетрудно заметить, что максимум такого потенциала находится в центре атома и равен \varphi_{\max }=\varphi(0)=\frac{Z e}{8 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{3}{R / 10}-\frac{3}{R}\right]=\frac{27 Z e}{8 \pi \varepsilon_{0} R}. Остановка может произойти, если энергия налетающей издалека \alpha -частицы: E_{\alpha} \leq 2 e \varphi(0)=\frac{27 Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \approx 4,91 \cdot 10^{-15} \text { Дж}. Переводя эту величину в мегаэлектронвольты, получаем, что E_{\alpha} \leq 0,03 МэВ. У \alpha -частиц, рожденных в реальных ядерных распадах, типичные энергии порядка МэВ, то есть намного больше.

Ответ 4,9 \cdot 10^{-15} Дж, или 0,03 МэВ.

Задача 3

Условие

Медленный электрон, прошедший в электрическом поле между точками с разностью потенциалов U=3518 В. Найдите радиус кривизны трека этого электрона в однородном магнитном поле с индукцией \mathrm{B}=0,1 Тл. Величину удельного заряда электрона считайте равной e / m \approx 1,759 \cdot 10^{11} Кл/кг.

Решение

В соответствии с законом сохранения энергии, скорость электрона после разгона определяется из соотношения e U=\frac{m v^{2}}{2} \Rightarrow v=\sqrt{\frac{2 e U}{m}} . Радиус кривизны траектории электрона в магнитном поле можно найти из уравнения для центростремительной компоненты ускорения: m \frac{v^{2}}{R}=e B v \Rightarrow R=\frac{m v}{e B} . Отметим, что для указанной разности потенциалов скорость электрона явно намного меньше скорости света, так что мы спокойно используем уравнения ньютоновской механики (это важно, так как в сильных полях легкие частицы микромира могут разгоняться до очень больших, в том числе релятивистских скоростей). Комбинируя эти уравнения, находим, что R=\frac{m}{e B} \sqrt{\frac{2 e U}{m}}=\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2 m U}{e}} \approx 2 \cdot 10^{-3} м. Таким образом, радиус кривизны трека этого электрона равен 2 мм. Ответ 2 мм.

Радиус трека \alpha -частиц с энергией E в магнитном поле равен 5 см. Источник заменили на другой, у которого энергия частиц в 2,56 раза больше. Каков радиус трека у \alpha -частиц, испущенных новым источником? Индукция магнитного поля не изменилась. Ответ запишите в см.

Медленный электрон попадает сначала в узкий «ускорительный промежуток» в котором его разгоняет мощное однородное электрическое поле, а затем в однородное магнитное поле, в котором он движется по окружности радиуса R = 30 см. Пройдя половину окружности, он попадает во второй такой же ускорительный промежуток (той же длины с таким же по величине напряженности электрическим полем), а затем снова вылетает в область, в которой создано такое же (по величине и направлению вектора индукции) магнитное поле, как и в первой области с магнитным полем. Найдите радиус траектории электрона во второй области с магнитным полем R' . Ответ запишите в см с точностью до десятых.

Рисунок 1 - к условию задачи