Изучение процессов в физике микромира.

Задача 7

Условие

Пациенту ввели внутривенно 2 см ^{3} раствора, содержащего радиоактивный изотоп { }_{11}^{24} \mathrm{Na} . Известно, что активность 1 см ^{3} этого раствора равна A_{0}=2000 распадов в секунду. Период полураспада этого изотопа равен T \approx 15,3 часа. Через время t \approx 7 ч 40 мин у пациента взяли пробу крови объемом v=1 см ^{3} . Какова будет активность этой пробы, если общий объем крови пациента V \approx 6 л?

Решение

Общая активность введенного раствора равна 2 A_{0} . Далее активность изотопа, попавшего в кровь пациента, убывает из-за уменьшения общего числа ядер: A(t)=2 A_{0} \cdot 2^{-t / T} . Отметим, что \frac{t}{T}=\frac{460 \text { мин }}{918 \text { мин }} \approx 0,501 . В пробу крови попадет часть изотопа, пропорциональная объему пробы, поэтому активность пробы a=\frac{v}{V} A(t)=\frac{2 v}{V} A_{0} \cdot 2^{-t / T} \approx \frac{\sqrt{2} v}{V} A_{0} \approx 0,47 распадов в секунду.

Ответ 0,47 расп/с.

Задача 8

Условие

\alpha -частица с кинетической энергией T=9,4 МэВ сталкивается с ядром лития-6 и вызывает реакцию \alpha+{ }_{3}^{6} \mathrm{Li} \rightarrow { }_{5}^{10} \mathrm{B} . Известно, что масса \alpha - частицы равна m_{\alpha} \approx 4,00260 а.е.м., масса m\left({ }_{3}^{6} \mathrm{Li}\right) \approx 6,01513 а.е.м, а масса m\left({ }_{5}^{10} \mathrm{B}\right) \approx 10,01294 а.е.м.. Найдите кинетическую энергию образовавшегося ядра. Массы нуклонов равны m_{p} \approx 1,00783 а.е.м. и m_{n} \approx 1,00866 а.е.м., скорость света в вакууме считайте равной c\approx 299792 \cdot км/с. Ответ запишите в МэВ, с точностью до десятых. 1 а.е.м \approx 1,660539 \cdot 10^{-27} кг.

Решение

Посчитаем энергию связи всех нуклидов по формуле E_{c}\left({ }_{Z}^{A} X\right)=\left[Z \cdot m_{p}+(A-Z) \cdot m_{n}-m\left({ }_{Z}^{A} X\right)\right] \cdot c^{2}. При этом удобно вывести «коэффициент пересчета» для энергии непосредственно из а.е.м. в МэВ: 1 \text { а.е.м. } \cdot \mathrm{c}^{2} \approx 931,5 \text { МэВ. } К тому же, поскольку суммы зарядовых и массовых чисел в начале и в конце реакции одинаковы, то для каждой частицы вместо массы в эту формулу можно подставлять ее отличие от массового числа. Тогда находим, что E_{c}\left({ }_{2}^{4} \mathrm{He}\right) \approx 6,5 МэВ, E_{c}\left({ }_{3}^{6} \mathrm{Li}\right) \approx 32,0 МэВ и E_{c}\left({ }_{5}^{10} \mathrm{B}\right) \approx 64,7 МэВ. Запишем закон сохранения энергии для нашей реакции: T-E_{c}\left({ }_{2}^{4} \mathrm{He}\right)-E_{c}\left({ }_{3}^{6} \mathrm{Li}\right)=T^{\prime}-E_{c}\left({ }_{5}^{10} \mathrm{B}\right),

и из него находим, что T^{\prime}=T+E_{c}\left({ }_{5}^{10} \mathrm{B}\right)-E_{c}\left({ }_{2}^{4} \mathrm{He}\right)-E_{c}\left({ }_{3}^{6} \mathrm{Li}\right) \approx 35,6 МэВ . Ответ T^{\prime} \approx 35,6 МэB.

В свинцовый контейнер с массой M = 10 кг поместили 0{,}2 г радиоактивного препарата, содержавшего в момент помещения \nu_0 = 0{,}0001 моля изотопа ^{23}_{12}Mg и неактивные примеси. Это ядро испытывает \beta^+ -распад ^{23}_{12}Mg \to ^{23}_{11}Na + e^+ + \nu_e с периодом полураспада T = 11{,}3 с. Нейтрино беспрепятственно покидает контейнер, не обмениваясь с ним энергией. Позитрон аннигилирует с электроном в веществе контейнера. Известно, что средняя энергия испускаемых позитронов равна E_1 = 1{,}99 МэВ, энергия покоя электрона E_2 \approx 0{,}51 МэВ, и что примерно 40\% энергии образовавшихся при их аннигиляции \gamma -квантов идет на нагрев контейнера. Оцените время до начала плавления контейнера. Удельная теплоемкость свинца c \approx 130 Дж/(кг \cdot^\circ C), температура плавления свинца t_c \approx 327^\circ C. Ответ запишите в секундах с точностью до десятых. Число Авогадро считайте примерно равным 6\cdot 10^{23} .

В ванну, в которой находилось V_0 = 200 л воды, вылили V_1 = 20 мл водного раствора радиоактивной соли с периодом полураспада T = 8 часов. Перед выливанием измерили активность раствора, и она оказалась равна A_0 = 4243 расп/с. Спустя время t_1 = T = 12 часов в эту ванну вылили еще одну такую же порцию раствора, имевшую в момент выливания такую же активность A_0 = 4243 расп/с. Еще через t_2 = 4 часа из ванны шприцем взяли образец воды объемом 2 мл. Определите активность этого образца. Ответ запишите в расп/мс с точностью до десятых.