Свойства фотонов.

Задача 1

Условие

Спектр излучения некоторой звезды похож на спектр равновесного теплового излучения, и максимум спектральной плотности излучения приходится на длину волны \lambda_{m}=210 нм. Определите мощность излучения с единицы площади поверхности ее фотосферы. Постоянная Стефана-Больцмана \sigma \approx 5,67 \cdot 10^{-8} Вт /\left(м^{2} \cdot К^{4}\right) , постоянная Вина b \approx 2898 мкм \cdot К .

Решение

Согласно закону Стефана-Больцмана, мощность излучения единицы площади поверхности фотосферы M=\sigma \cdot T^{4} . Температуру фотосферы можно определить из закона смещения Вина T=\frac{b}{\lambda_{m}} , и поэтому M=\sigma \cdot\left(\frac{b}{\lambda_{m}}\right)^{4} \approx 2,056 мBт / м^{2} .

Ответ M \approx 2,056 мBт / м^{2} .

Задача 2

Условие

Температура фотосферы Солнца: T_{C} \approx 5800 К. Зная, что радиус орбиты Земли R_{3} \approx 1,5 \cdot 10^{8} км, а радиус фотосферы Солнца r_{C} \approx 7 \cdot 10^{5} км и считая, что электромагнитное излучение Солнца - единственный источник тепла для Земли, оцените равновесную температуру поверхности Земли.

Решение

Согласно закону Стефана-Больцмана, мощность излучения единицы площади поверхности фотосферы M_{C}=\sigma \cdot T_{C}^{4} . Земли достигает поток солнечного излучения, уходящий с участка поверхности Солнца площадью S=\frac{r_{C}^{2}}{R_{3}^{2}} \pi r_{3}^{2} , где r_{3} - радиус Земли. Пренебрегая потерями и считая, что Земля поглощает все падающее на нее излучение, найдем, что мощность нагрева Земли солнечным излучением P_{H}=M_{C} S=\sigma T_{C}^{4} \frac{r_{C}^{2}}{R_{3}^{2}} \pi r_{3}^{2} . Мощность же потерь Земли за счет ее собственного теплового излучения определяется температурой ее поверхности P_{0}=\sigma T_{3}^{4} 4 \pi r_{3}^{2} . Условиe равновесия P_{0}=P_{H} дает: T_{3}=T_{C} \sqrt{\frac{r_{C}}{2 R_{3}}} \approx 280 К. Как видно, получается не такая уж плохая оценка. Для более точной необходимо учесть, что энергия передается от Солнца Земле не только через электромагнитное излучение (существенный вклад дает поток заряженных частиц - так называемый «солнечный ветер»), что у Земли есть «внутренние» источники нагрева, запущенные еще при ее формировании (недра Земли заметно горячее поверхности, и изнутри к поверхности идет поток тепла), что у Земли есть атмосфера, задерживающая заметную часть излучения Земли и что не весь поток солнечной энергии поглощается Землей.

Ответ T_{3} \approx 280 К.

Задача 3

Условие

При освещении катода из металла с работой выхода А светом с длиной волны \lambda_{1} величина запирающего напряжения оказалась равна U_{1} . Какой будет эта величина, если длину волны используемого света уменьшить в два раза? А если увеличить в два раза? Величина элементарного заряда e .

Решение

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта, eU=h v-A=\frac{hc}{\lambda}-A . Запишем это уравнение для двух длин волн: \lambda_{1} и \lambda \equiv \lambda_{1} / z : \left\{\begin{array}{l}

e U_{1}=\frac{hc}{\lambda_{1}}-A \\

e U=z \frac{hc}{\lambda_{1}}-A

\end{array}\right\} \Rightarrow e U=z\left(e U_{1}+A\right)-A \Rightarrow U(z)=z U_{1}+(z-1) \frac{A}{e}. Мы получили общую формулу для расчета новой величины запирающего напряжения при изменении длины волны света в заданное число раз. Например, при уменьшении длины волны в два раза (z=2) U(2)=2 U_{1}+\frac{A}{e} , а при увеличении длины волны в два раза ( z=1 / 2 ) U(1 / 2)=\frac{1}{2}\left(U_{1}-\frac{A}{e}\right) . Можно еще отметить, что при увеличении длины волны отвeт существует не всегда: по физическому смыслу величина запирающего напряжения должна быть положительной, и условиe U(z)>0 дает нам требование z>\frac{A}{A+eU_{1}} - в противном случае частота света окажется ниже красной границы, и фотоэффект просто не будет наблюдаться. Например, при z = 1/2 для физически осмысленных данных должно выполняться требование eU_{1}>A .

Ответ U(2)=2 U_{1}+\frac{A}{e}, U(1 / 2)=\frac{1}{2}\left(U_{1}-\frac{A}{e}\right) при eU_{1}>A , иначе после увеличения длины волны фотоэффект не наблюдается даже при нулевом запирающем напряжении.

Детектор поглощает свет с длиной волны 330 нм. Поглощаемая мощность составляет 3 нВт.

Какое количество фотонов поглощает детектор за 2 секунды? Ответ дайте в миллиардах штук.

Излучением лазера с длиной волны \lambda = 660 нм был за время \tau \approx 5 \cdot 10^3 с расплавлен кусок льда массой m = 400 г с начальной температурой 0^\circ C, и образовавшаяся вода была нагрета до 100^\circ C. Известно, что за это время лед и вода в среднем поглощали 40% % энергии излучения. Сколько фотонов испускает в секунду этот лазер? Постоянная Планка h \approx 6{,}62 \cdot 10^{-34} Дж \cdot с, скорость света в вакууме c \approx 3 \cdot 10^8 м/с, удельная теплота плавления льда L \approx 330 кДж/кг, удельная теплоемкость воды C_в \approx 4{,}2 кДж/(кг \cdot^\circ C). Значение искомой величины приведите к виду N \cdot 10^{20} с ^{-1} , и в ответе укажите N , округлив до ближайшего целого значения.