Свойства микрочастиц

Задача 7

Условие

Рассматривая состояния с заданной энергией как «стоячие волны», найти разрешенные уровни энергии для линейного гармонического осциллятора (частицы массы m , совершающей колебания вдоль оси х в поле с потенциальной энергией U(x)=\frac{K x^{2}}{2} \equiv \frac{m \omega^{2} x^{2}}{2} ).

Решение

1.4.PNG Рис. 2.2

При анализе состояний электрона в атоме водорода, Бор предложил считать, что на «стационарных» орбитах с определенной энергией укладывается целое число длин волн. В случае линейного осциллятора волна де Бройля должна пробегать от одной точки поворота до другой и обратно. Сами точки поворота расположены симметрично относительно положения равновесия определяются из условия обращения в ноль кинетической энергии: E=\frac{m \omega^{2} x_{m}^{2}}{2} \Rightarrow x_{m}=\frac{1}{\omega} \sqrt{\frac{2 E}{m}} (см. рисунок 2.2). Также важно вспомнить, что у многих волн при отражении происходит сдвиг фазы (например, при отражении волны, бегущей по натянутому шнуру, от точки жесткого закрепления шнура, ее фаза сдвигается на \pi ). Мы не знаем свойств волн де Бройля, поэтому введем константу \gamma , описывающую сдвиг ее фазы при отражении: \Delta \varphi=\gamma \cdot \pi . Изменение фазы волны на малом участке пути dx связано с длиной волны: d \varphi=2 \pi \frac{dx}{\lambda} . С учетом формулы де Бройля d \varphi=2 \pi \frac{dx}{h} p_{x}=\frac{1}{\hbar} p_{x} dx . Но в данном случае импульс меняется в процессе движения, поэтому полный сдвиг фазы на пути от одной точки отражения до другой придется считать через суммирование таких бесконечно малых вкладов, то есть через интегрирование. В результате мы получаем обобщение условия Бора для произвольных одномерных движений (теоретики называют его условием Бора-Зоммерфельда): энергии стационарных состояний должны определяться из условия

\frac{2}{h} \int\limits_{-x_{m}}^{+x_{m}} p_{x} d x+2 \cdot \gamma \cdot \pi=k \cdot 2 \pi, \quad k=1,2,3, \ldots (за один цикл движения частица дважды проходит от одного амплитудного значения до другого и две точки остановки с изменением направления движения, а общий сдвиг фазы должен быть кратен 2 \pi , чтобы волна переходила сама в себя при возвращению в исходную точку). Обычно вводят индекс n \equiv k-1 , и тогда \frac{1}{\pi h} \int\limits_{-x_{m}}^{+x_{m}} p_{x} dx=n+\gamma, n=0,1,2, \ldots , причем амплитуда у нас связана с энергией: x_{m}=\frac{1}{\omega} \sqrt{\frac{2 E}{m}} . Подставив в условиe стационарности соотношение p_{x}=\sqrt{2 m[E-U(x)]}=\sqrt{2 mE} \cdot \sqrt{1-\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2 E}} :, получим:

\frac{\sqrt{2 m E}}{\pi h} \int\limits_{-x_{m}}^{+x_{m}}\left(1-\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2 E}\right)^{1 / 2} dx=n+\gamma, \quad n=0,1,2, \ldots Математическое исследование свойств волн де Бройля позволило теоретиком доказать, что при отражении от точки поворота \gamma=\frac{1}{2} . Сделав в интеграле замену переменной x=\frac{t}{\omega} \sqrt{\frac{2 E}{m}} и учтя симметрию интеграла (отрезки от -x_{m} до 0 и от 0 до +x_{m} дают одинаковые вклады), получаем:

\frac{4 E}{\pi h \omega} \int\limits_{0}^{1} \sqrt{1-t^{2}} dt=\frac{E}{h \omega}=n+\frac{1}{2} \Rightarrow E_{n}=h \omega\left(n+\frac{1}{2}\right). Мы получили формулу, описывающую энергетический спектр линейного осциллятора.

Ответ E_{n}=h\omega \cdot\left(n+\frac{1}{2}\right), n=0,1,2, \ldots

На рисунке 1 представлены энергетические уровни электронной оболочки атома и указаны частоты фотонов, излучаемых или поглощаемых при некоторых переходах между ними. Найти минимальную длину волны фотона, который может быть испущен при переходах между этими уровнями. Известно, что \nu_{13} = 5 \cdot 10^{15} Гц, \nu_{24} = 3 \cdot 10^{15} Гц и \nu_{32} = 2 \cdot 10^{15} Гц. Ответ записать в нанометрах, округлив до целого значения.

Рисунок 1