Свойства микрочастиц

6} Одной из ярких демонстраций проявления у электромагнитного излучения волновых свойств при взаимодействии с микрочастицами является эффект Комптона: при рассеянии фотонов на электронах мы наблюдаем, что, отдавая часть своего импульса электрону, фотон «краснеет», то есть его длина волны увеличивается. Найдем изменение длины волны фотона при рассеянии. \sol Электроны в веществе входят в состав атомов, при этом характерные величины потенциальной энергии их взаимодействия с полем атома составляют от нескольких эВ до кэВ. При использовании для «просвечивания» вещества рентгеновских лучей с энергией квантов порядка десятков или сотен кэВ взаимодействием электронов с полем атома и их движением до рассеяния можно пренебречь, и тогда можно рассмотреть рассеяние фотонов на свободных покоящихся электронах. Правда, поскольку в этом случае энергии квантов могут приближаться к энергии покоя электрона (примерно 511 кэВ), то электрон нельзя считать нерелятивистским, и при записи законов сохранения придется пользоваться формулами механики СТО. Пусть $q$ и $\overrightarrow{q '}$ - импульсы фотона до и после рассеяния на электроне, $E=cq$ и $E^{\prime}=cq$ - соотвeтствующие энергии, а $\overrightarrow{p}-$ импульс электрона после рассеяния. Энергия электрона в конечном состоянии $E=\sqrt{m^{2} c^{4}+c^{2} p^{2}}$, где $m$ - масса покоя электрона. Тогда законы сохранения записываются в виде: $$ \left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{q}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q' } \\ E+m c^{2}=E^{\prime}+\sqrt{m^{2} c^{4}+c^{2} p^{2}} \end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c} p^{2}=q^{2}+q^{' 2}-2 q q' \cos \theta \\ m^{2} c^{4}+c^{2} p^{2}=E^{2}+E^{' 2}+m^{2} c^{4}-2 E E'+2 m c^{2}\left(E-E'\right). \end{array}\right. $$ ($\theta$ - угол между $q$ и $\overrightarrow{q '}$, называемый углом рассеяния фотона). Разделив второе уравнение на $c^{2}$ и выразив в нем энергии фотонов через импульсы, подставляем в него $p^{2}$ из первого уравнения. После сокращения подобных получаем, что $$ m c\left(q-q'\right)=q q'(1-\cos \theta). $$ Разделим это выражение на $q q'$ и «вспомним» про волновые свойства фотонов: так как $q=\frac{h}{\lambda}$ и $q^{\prime}=\frac{h}{\lambda^{\prime}}$, то $$ \lambda'-\lambda=\frac{h}{mc}(1-\cos \theta), $$ то есть увеличение длины волны однозначно связано с углом рассеяния. Величину $\Lambda \equiv \frac{h}{mc} \approx 2,42 \cdot 10^{-12}$ м обычно называют «комтоновской длиной электрона», а полученную здесь формулу - формулой Комптона. { Ответ } $\lambda^{\prime}-\lambda=\frac{h}{mc}(1-\cos \theta)$.