Свойства микрочастиц

Задача 6

Условие

Одной из ярких демонстраций проявления у электромагнитного излучения волновых свойств при взаимодействии с микрочастицами является эффект Комптона: при рассеянии фотонов на электронах мы наблюдаем, что, отдавая часть своего импульса электрону, фотон «краснеет», то есть его длина волны увеличивается. Найдем изменение длины волны фотона при рассеянии.

Решение

Электроны в веществе входят в состав атомов, при этом характерные величины потенциальной энергии их взаимодействия с полем атома составляют от нескольких эВ до кэВ. При использовании для «просвечивания» вещества рентгеновских лучей с энергией квантов порядка десятков или сотен кэВ взаимодействием электронов с полем атома и их движением до рассеяния можно пренебречь, и тогда можно рассмотреть рассеяние фотонов на свободных покоящихся электронах. Правда, поскольку в этом случае энергии квантов могут приближаться к энергии покоя электрона (примерно 511 кэВ), то электрон нельзя считать нерелятивистским, и при записи законов сохранения придется пользоваться формулами механики СТО. Пусть q и \overrightarrow{q '} - импульсы фотона до и после рассеяния на электроне, E=cq и E^{\prime}=cq - соотвeтствующие энергии, а \overrightarrow{p}- импульс электрона после рассеяния. Энергия электрона в конечном состоянии E=\sqrt{m^{2} c^{4}+c^{2} p^{2}} , где m - масса покоя электрона. Тогда законы сохранения записываются в виде: \left\{\begin{array}{c}

\overrightarrow{q}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q' } \\

E+m c^{2}=E^{\prime}+\sqrt{m^{2} c^{4}+c^{2} p^{2}}

\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}

p^{2}=q^{2}+q^{' 2}-2 q q' \cos \theta \\

m^{2} c^{4}+c^{2} p^{2}=E^{2}+E^{' 2}+m^{2} c^{4}-2 E E'+2 m c^{2}\left(E-E'\right).

\end{array}\right. ( \theta - угол между q и \overrightarrow{q '} , называемый углом рассеяния фотона). Разделив второе уравнение на c^{2} и выразив в нем энергии фотонов через импульсы, подставляем в него p^{2} из первого уравнения. После сокращения подобных получаем, что m c\left(q-q'\right)=q q'(1-\cos \theta). Разделим это выражение на q q' и «вспомним» про волновые свойства фотонов: так как q=\frac{h}{\lambda} и q^{\prime}=\frac{h}{\lambda^{\prime}} , то \lambda'-\lambda=\frac{h}{mc}(1-\cos \theta), то есть увеличение длины волны однозначно связано с углом рассеяния. Величину \Lambda \equiv \frac{h}{mc} \approx 2,42 \cdot 10^{-12} м обычно называют «комптоновской длиной электрона», а полученную здесь формулу - формулой Комптона.

Ответ \lambda^{\prime}-\lambda=\frac{h}{mc}(1-\cos \theta) .

Найдите длину волны фотона, испущенного при захвате ионом водорода H^+ очень медленного электрона с образованием атома водорода в основном состоянии. Ответ запишите в нанометрах с точностью до целого значения.