Сложные задачи о движении частиц в магнитном поле.: Семинар 8

Задача 5

Условие

В скрещенных электрическом и магнитном полях движется маленькая частица с массой m и зарядом q > 0 . Электрическое поле – однородное, направленное вдоль оси y с напряженностью E . Вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси z , а его величина зависит только от y : B_z(y) = \alpha y . В начальный момент времени t = 0 частица покоилась в начале координат. Известно, что впервые после начала движения частица остановилась в момент времени t = T .

1) Определите величину скорости в тот момент, когда она будет направлена вдоль оси x .

2) Найдите радиус кривизны траектории частицы в зависимости от ее координаты y .

3) На каком расстоянии от точки старта окажется частица спустя время \tau = \frac{3}{2}T ?

Силы тяжести нет.

Решение

Запишем уравнения движения частицы в плоскости xy : \left\{ \begin{aligned}

m \frac{dv_x}{dt} &= + q B(y) \cdot v_y = + q \alpha \sqrt{y} \frac{dy}{dt} \\

m \frac{dv_y}{dt} &= - q B \cdot v_x + qE

\end{aligned} \right.

image.png

В первую очередь проанализируем общий характер движения. В начальный момент сила Лоренца вместе со скоростью равна нулю, и электрическое поле разгоняет частицу вдоль оси y . Скорость растет только за счет работы этого поля, потенциальная энергия которого убывает с ростом y , и поэтому модуль скорости зависит только от этой координаты и растет вместе с ней: \frac{m v^2}{2} = q E y . С ростом скорости и B_z(y) растет и сила Лоренца, заворачивающая частицу, так что в какой-то момент скорость действительно уже будет направлена вдоль оси x , и в этот момент y -проекция результирующей силы будет уже отрицательна, то есть после этого момента частица начнет возвращаться к оси x . Из выражения для модуля скорости понятно, что она остановится, достигнув той оси, где на нее будут действовать точно такие же силы, как в момент старта, и движение начнется сначала (то есть T – это период движения частицы). Значит, вся траектория частица лежит между y = 0 и некоторым максимальным значением y_m .

Перейдем к вычислениям. Из первого уравнения после сокращения на dt и интегрирования (с учетом того, что частица стартует с нулевой скоростью из начала координат) получаем связь x -компоненты скорости с координатой y в виде d v_x = \frac{q \alpha}{m} \sqrt{y} dy \Rightarrow v_x = \frac{2 q \alpha}{3 m} y^{3/2}. С другой стороны, закон сохранения энергии (с учетом того, что работу над частицей совершает только потенциальное электрическое поле) \frac{m(v_x^2 + v_y^2)}{2} = q E y \Rightarrow v_y^2 = \frac{2 q E}{m} y - \frac{4 q^2 \alpha^2}{9 m^2} y^3. В момент времени, когда скорость направлена вдоль оси x , v_y = 0 , то есть (из последнего уравнения) y \equiv y_m =\frac{3}{\alpha} \sqrt{\frac{ m E}{2 q}} . При этом величина скорости равна v_x , то есть v = \frac{2 q \alpha}{3 m}\left(\frac{3}{\alpha} \sqrt{\frac{ m E}{2 q}}\right) ^{3/2} = \left( \frac{9 q E^3}{4 m \alpha^2} \right)^{1/4} \quad (1). Радиус кривизны траектории равен отношению квадрата скорости v^2 = \frac{2qE}{m}y к нормальной компоненте ускорения, которая создается силой Лоренца и проекцией силы q\vec{E} на нормаль к скорости, и поэтому m a_n = q v B(y) - q E \cos(\alpha) . Здесь \alpha – угол между вектором \vec{v} и этой нормалью. Он равен углу между скоростью и осью x , и \cos(\alpha) = \frac{v_x}{v} = \frac{2 q \alpha}{3 m v} y^{3/2} . Если подставить выражения всех величин через y в формулу для обратного радиуса кривизны, мы обнаруживаем, что \frac{1}{R} = \frac{a_n}{v^2} = \frac{3 m q v^2 \alpha \sqrt{y} - q E \cdot 2 q \alpha y^{3/2}}{3 m^2 v^3} = \frac{\alpha}{3 \sqrt{m E}} \sqrt{\frac{2q}{y}} = \frac{1}{y_m} \Rightarrow R \equiv \frac{3}{\alpha} \sqrt{\frac{m E}{2q}} \quad (2), то есть радиус кривизны постоянен (частица движется по дуге окружности) и равен y_m , то есть за период движения между двумя остановками частица проходит половину окружности. По сути, второй вопрос условия «направил» нас к пониманию происходящего, которое оказалось удивительно простым и в то же время совершенно неочевидным: под действием постоянной электрической силы и переменной силы Лоренца частица совершает неравномерное движение по половинкам окружностей. Если бы мы не попробовали вычислить радиус кривизны, этот факт было бы достаточно сложно установить. А теперь ответ на третий вопрос для нас практически очевиден: после полутора периодов движения частицы окажется «на вершине» второй полуокружности, и \Delta x(t) = 3R , а \Delta y(t) = R . Значит, искомое расстояние |\Delta \vec{r}(t)| = \sqrt{(\Delta x(t))^2 + (\Delta y(t))^2} = R \sqrt{10} = \frac{3}{\alpha} \sqrt{\frac{5 m E}{q}}.

Ответ v = \left( \frac{9 q E^3}{4 m \alpha^2} \right)^{1/4}, \quad R = \frac{3}{\alpha} \sqrt{\frac{m E}{2q}}, \quad |\Delta \vec{r}(t)| = \frac{3}{\alpha} \sqrt{\frac{5 m E}{q}} .