Сложные задачи о движении частиц в магнитном поле.: Семинар 8

Задача 2

Условие

Маленькая частица с положительным зарядом q движется в однородном магнитном поле с индукцией \vec{B} в вязкой среде. Сила сопротивления среды, действующая на частичку, прямо пропорциональна ее скорости. В начальный момент времени импульс частицы равнялся \vec{p}_0 и был направлен перпендикулярно линиям индукции. Вектор перемещения частицы к моменту, когда скорость частицы впервые оказалась противонаправлена начальной скорости, составляет угол \varphi = 45^\circ с вектором \vec{p}_0 .

1) Какой путь прошла частица до остановки?

2) Чему равен модуль перемещения частицы до остановки?

Сила тяжести отсутствует.

Решение

image.png

Выберем начало координат в точке старта и направим ось y по направлению вектора начальной скорости частицы, а ось x – перпендикулярно \vec{p}_0 и \vec{B} так, чтобы в начальный момент времени сила Лоренца действовала в положительном направлении оси x . Пусть \alpha - коэффициент пропорциональности в зависимости силы сопротивления от скорости частицы \vec{F}_c = - \alpha \vec{v} . Уравнение движения частицы в проекции на координатные оси выглядит так: \left\{ \begin{aligned}

m a_x &= + q B v_y - \alpha v_x \\

m a_y &= - q B v_x - \alpha v_y

\end{aligned} \right. Сделаем замены \omega \equiv \frac{qB}{m} и \beta \equiv \frac{\alpha}{m} , а также учтем связь ускорений и скоростей. Тогда \left\{ \begin{aligned}

\frac{\Delta v_x}{\Delta t} &= \omega v_y - \beta v_x \\

\frac{\Delta v_y}{\Delta t} &= - \omega v_x - \beta v_y

\end{aligned} \right\} \Rightarrow

\left\{ \begin{aligned}

\Delta v_x &= \omega v_y \Delta t - \beta v_x \Delta t = \omega \Delta y - \beta \Delta x \\

\Delta v_y &= - \omega v_x \Delta t - \beta v_y \Delta t = - \omega \Delta x - \beta \Delta y

\end{aligned} \right. Здесь \Delta x и \Delta y - изменение координат частицы за малый промежуток времени \Delta t . Суммируя изменения проекций скорости и координат частицы за произвольное время от начала движения, получим \left\{ \begin{aligned}

v_x &= \omega y - \beta x \\

v_y - v_0 &= - \omega x - \beta y

\end{aligned} \right. В точке «разворота» (далее в точке 1) вектор скорости частицы направлен против \vec{v}_0 и v_{x1} = 0 . Отсюда \omega y_1 = \beta x_1 = \beta y_1 \cdot tg(\pi/4) = \beta y_1 , то есть из условия задачи следует, что \beta = \omega . Далее будем использовать это соотношение.

Сила Лоренца действует перпендикулярно скорости и изменение модуля скорости частицы определяется только силой сопротивления. Поэтому \frac{\Delta v}{\Delta t} = - \beta v и, следовательно, \Delta v = - \beta v \Delta t = - \beta \Delta s , где \Delta s – расстояние, пройденное за \Delta t . Суммируя обе части уравнения за произвольное время движения, получаем v - v_0 = - \beta s , то есть за все время движения v_0 = \beta S = \omega S \Rightarrow S = \frac{m v_0}{q B}. Мы нашли путь частицы от начала движения до момента остановки. Пусть координаты точки остановки x_0, y_0 . Так как в этой точке v_{x0} = 0 , то снова получаем y_0 = x_0 . Мы обнаружили, что точка остановки окажется на линии, соединяющей точку старта с точкой 1. Используя соотношение для изменения y -компоненты скорости для изменения от старта до остановки (с учетом v_{y0} = 0 ), v_{y0} - v_0 = -v_0 = -\omega x_0 - \omega y_0 = -2\omega x_0. Таким образом, x_0 = \frac{m v_0}{2 q B}, а расстояние от начальной точки до точки остановки l = \sqrt{2} x_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{m v_0}{q B}.

Ответ S = \frac{m v_0}{q B}, \quad l = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{m v_0}{q B} .

Задача 3

Условие

В аксиально симметричном магнитном поле находится гантель - невесомый непроводящий стержень с заряженными шариками на концах. Массы и заряды шариков одинаковы и равны m и q . Гантель перпендикулярна оси симметрии, а её центр находится на этой оси (см. рис.). Проекция магнитного поля на радиальное (перпендикулярное оси) направление на расстоянии, равном половине длины стержня гантели, одинакова для всех точек соответствующей цилиндрической поверхности и равна B_{\perp} , осевая компонента поля меняется вдоль оси. Гантеле придают поступательное движение со скоростью V_0 вдоль оси симметрии.

1) На какое наибольшее расстояние от начального положения удаляется центр гантели?

2) Через какое время после старта скорость центра гантели впервые обратится в ноль?

image.png

Решение

Вызываемые осевой проекцией магнитного поля B_x силы направлены вдоль стержня, равны по величине и противоположно направлены, то есть их сумма равна нулю. Поэтому они изменяют натяжение стержня гантели, но не сказываются на ее движении. В начальный момент силы, связанные с радиальной проекцией магнитного поля оказываются тангенциальными (они направлены перпендикулярно стержню гантели и перпендикулярны оси симметрии). Поэтому они вызывают вращение гантели вокруг оси симметрии, причем из симметрии (и из картины действия сил) ясно, что центр гантели все равно должен двигаться по оси симметрии, и вращение гантели тоже должно происходить вокруг этой оси. Поэтому состояние движения гантели можно характеризовать двумя величинами: скоростью V обоих шариков (одинаковой) вдоль оси и линейной скоростью вращения шариков u (тоже одинаковой). Так как шарики не уходят с поверхности цилиндра радиуса, равного половине длины стержня гантели, то осевая и тангенциальная проекции действующих на них со стороны магнитного поля сил определяются именно радиальной составляющей магнитной индукции, и уравнения движения можно записать в виде \left\{ \begin{aligned}

m \frac{dV}{dt} &= - q B_{\perp} \cdot u \\

m \frac{du}{dt} &= + q B_{\perp} \cdot V

\end{aligned} \right. Из этих уравнений видно, что, пока V положительна, u растет, и V уменьшается. Скорость вращения достигает максимума, когда V уменьшится до нуля, а затем V меняет знак (центр гантели достиг максимального значения координаты), а u начинает убывать, и так далее – происходят колебания скоростей. Поскольку работа магнитной силы равна нулю, то кинетическая энергия остаётся неизменной и максимальная величина скорости вращения равна начальной осевой скорости u_{\max} = V_0 . Кроме того, дифференцирование первого уравнения дает m \frac{d^2 V}{dt^2} = - q B_{\perp} \frac{du}{dt} = - \frac{q^2 B_{\perp}^2}{m} V \Rightarrow \frac{d^2 V}{dt^2} + \left( \frac{q B_{\perp}}{m} \right)^2 V = 0. Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой \omega = \frac{q B_{\perp}}{m} , то есть осевая скорость шариков изменяется по гармоническому закону, и V впервые обратится в ноль через четверть периода колебаний: t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi m}{2 q B_{\perp}}. При гармонических колебаниях амплитуда смещения (а это и есть наибольшее расстояние, на которое центр гантели смещается от начального положения) равна амплитуде скорости, разделенной на циклическую частоту: x_{\max} = \frac{v_0}{\omega} = \frac{m v_0}{q B_{\perp}}.

Ответ x_{\max} = \frac{m v_0}{q B_{\perp}}, \quad t = \frac{\pi m}{2 q B_{\perp}} .