Сложные задачи о движении частиц в магнитном поле.: Семинар 8

Задача 1

Условие

Из верхней точки закрепленного вертикально проводящего кольца радиуса R падает без начальной скорости маленькое тело. В момент пролета телом центра кольца через кольцо пропускают заряд величиной Q (время прохождения заряда много меньше времени падения тела). В результате тело отклонилось от вертикали и его соударение с кольцом произошло не в нижней точке кольца, а на высоте h \ll R . Найти удельный заряд тела (то есть отношение заряда к массе).

Решение

За время падения до центра кольца тело набрало вертикальную скорость V_y = \sqrt{2gR} . Так как прохождение заряда занимало очень малое время \Delta t \ll \sqrt{\frac{R}{g}} , то можно считать что в течении всего времени эта скорость не изменялась. При протекании тока через кольцо в области вблизи центра кольца создается магнитное поле. Считая время протекания \Delta t \gg \frac{R}{c} ( c – скорость света в вакууме), можно при вычислении индукции этого поля считать, что сила тока в каждой небольшой части этого интервала I = \frac{\delta Q}{\delta t} почти постоянна. Так как вклады в индукцию от всех элементов кольца направлены в одну сторону, можно заключить, что поле в центре кольца направлено перпендикулярно плоскости кольца и имеет величину B \approx \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{\mu_0}{2R} \frac{\delta Q}{\delta t}. Со стороны магнитного поля на частицу действует сила Лоренца, сообщающая ей горизонтальное ускорение a_x = \frac{q}{m} V_y B \Rightarrow \frac{dV_x}{dt} \approx \frac{q}{m} \sqrt{2gR} \frac{\mu_0}{2R} \frac{\delta Q}{\delta t}. Таким образом, изменение горизонтальной составляющей скорости тела в результате «магнитного удара» пропорционально протекшему заряду с постоянным коэффициентом пропорциональности: \delta V_x \approx \frac{q}{m} \sqrt{\frac{g}{2R}} \mu_0 \delta Q. Значит, таким же образом будут связаны и изменения этих величин за все время «магнитного удара»: V_x = \sum \delta V_x \approx \frac{q}{m} \sqrt{\frac{g}{2R}} \mu_0 Q.

image.png

После «удара» тело будет двигаться в поле тяжести по участку параболы, поэтому в ходе этого движения (система координат показана на рисунке): \left\{ \begin{aligned} x(t) &= V_x t \\ y(t) &= V_y t + \frac{gt^2}{2} \end{aligned} \right\} \Rightarrow y(x) = \frac{V_y}{V_x}x + \frac{g}{2V_x^2}x^2. В момент соударения с кольцом y = R - h \approx R , x = \sqrt{R^2 - (R - h)^2} \approx \sqrt{2Rh} (переход к приближенным равенствам совершен в соответствии с тем, что по условию h \ll R ). Подставляя эти значения в уравнение траектории, получаем: h + 2 \frac{q}{m} \frac{\mu_0 Q}{\sqrt{2R}} \sqrt{h} - \left( \frac{q}{m} \right)^2 \frac{\mu_0^2 Q^2}{2R} = 0. Так как отбор «физически значимых» корней этого уравнения проще производить, ориентируясь на требование \sqrt{h} > 0 , то удобней сначала найти из этого уравнения, что \sqrt{h} \approx \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \frac{V_x}{\sqrt{g/R}}, а затем уже выразить удельный заряд, учитывая, что изменение его знака на самом деле изменит только направление отклонения тела от вертикали, но не высоту точки его падения на кольцо: \frac{q}{m} \approx \pm (\sqrt{2} + 1) \frac{\sqrt{2Rh}}{\mu_0 Q}.

Ответ \frac{q}{m} \approx \pm (\sqrt{2} + 1) \frac{\sqrt{2Rh}}{\mu_0 Q} .