Магнитные цепи: МДС и магнитное сопротивление, анализ магнитных цепей.: Лекция 11

Часть I: Магнитное поле в системе ферромагнитных сердечников с контурами с током. Уравнения непрерывности магнитного потока и закона полного тока.

Интересный класс задач магнитостатики – расчет магнитных потоков (индукций магнитного поля) в системах ферромагнитных сердечников, на которые надеты витки проводов с током (катушки индуктивности). Вспомним, что ферромагнетики с большими магнитными проницаемостями \mu \gg 1 обладают свойством «каналлирования» линий магнитных индукции – они идут в основном вдоль оси сердечника, повторяя ее «не слишком крутые» изгибы. Конечно, часть линий индукции покидают сердечник (в этом случае говорят о рассеянии магнитного потока), но, если у сердечника с диаметром d длина участков без обмотки l \ll \mu \cdot d , то влияние рассеяния магнитного потока мало, и часто расчеты магнитного поля проводят, пренебрегая таким рассеянием.

image.png

Например, если у нас есть замкнутый сердечник с постоянной площадью поперечного сечения S из материала с очень большой магнитной проницаемостью \mu , средняя линия которого имеет форму квадрата со стороной a , на который надета обмотка из N витков провода, по которому течет ток I , то при a \ll \mu \sqrt{S} (ясно, что поперечный размер сердечника по порядку величины соответствует \sqrt{S} ) мы можем пренебрегать рассеянием магнитного потока. Тогда этот поток примерно постоянен по всей длине сердечника, и из постоянства сечения можно сделать вывод о том, что величина компоненты магнитной индукции, перпендикулярной сечению сердечника, примерно одинакова во всех сечениях. Если сам сердечник можно считать «тонким» ( \sqrt{S} \ll a ), то величина этой компоненты примерно равна величине индукции внутри сердечника B_{in} (составляющая индукции в плоскости поперечного сечения по величине много меньше «продольной» составляющей). Итак: величина магнитной индукции примерно постоянна внутри сердечника, вектор индукции внутри сердечника с хорошей точностью направлен вдоль средней линии, и при этом B_{in} можно найти из закона полного тока: циркуляция вектора индукции, поделенного на магнитную проницаемость, по средней линии сердечника равна магнитной постоянной, умноженной на полный ток, пронизывающий эту среднюю линию: \frac{B_{in}}{\mu} \cdot 4a = \mu_0 N I \Rightarrow B_{in} = \frac{\mu_0 \mu N I}{4a}. Обратим внимание: в знаменателе стоит полная длина средней линии сердечника l = 4a , а длина области намотки провода вообще не вошла в формулу! Это следствие пренебрежения рассеянием магнитного потока. Если мы вычислим магнитный поток, текущий по сердечнику \Phi = B_{in} S = \frac{\mu_0 \mu S}{4a} N I \equiv \frac{M}{R} то обнаружим явную аналогию между этим соотношением и законом Ома для электрической цепи: магнитный поток прямо пропорционален «магнитному напряжению M , создаваемому источником» и обратно пропорционален «магнитному сопротивлению» R . Далее величину M = NI будем называть магнитодвижущей силой обмотки (МДС). Кроме того, сразу обратим внимание на еще одну аналогию: формула для магнитного сопротивления R = \frac{1}{\mu_0 \mu} \frac{l}{S} очень похожа на формулу для электрического сопротивления провода R = \rho \frac{l}{S} , в которой роль «удельного сопротивления» играет величина, обратно пропорциональная магнитной проницаемости \rho_m \equiv \frac{1}{\mu_0 \mu} .

Часть II: Методы расчета магнитных цепей.

image.png

Оказывается, что эту аналогию мы можем применить не только к простым по форме сердечникам, но и к более сложным, в которых магнитные потоки идут по разным путям (то есть к разветвленным сердечникам). В самом деле, условие непрерывности магнитного потока говорит нам, что в любой «точке ветвления» сердечника сумма притекающих к ней магнитных потоков равна сумме утекающих. Например, если ферромагнитный сердечник, на части которого была помещена обмотка (провод с током) «разделяется» на два «рукава», то магнитный поток через этот сердечник тоже разделяется на два потока, текущих по этим «рукавам»: \Phi = \Phi_1 + \Phi_2 . Сразу отметим аналогию этого соотношения с потоком жидкости, текущим по разветвляющейся трубе (это полезное образное представление о любом потоке) или электрическим током, текущим по разветвляющемуся проводу ( I = I_1 + I_2 ): все эти соотношения подчеркивают свойство непрерывности потока. В общем случае это соотношение можно записать в стандартном виде (сумма притекающих к любому сечению магнитных потоков равна сумме утекающих): \sum_i \Phi_i^{in} = \sum_j \Phi_j^{out}.

Другие соотношения для описания подобных объектов дает нам закон полного тока: если у нас имеется замкнутый сердечник («магнитный контур»), составленный из участков с разными проницаемостями и сечениями, то для проходящей по контуру линии индукции уравнение закона полного тока имеет вид \sum_i \frac{B_i}{\mu_i}\Delta l_i = \mu_0 \sum_k (\pm N_k I_k) . В правой части сумма ведется по участкам контура, в левой – по надетым на сердечник катушкам, причем со знаком «+» берутся вклады тех катушек, которые создают магнитный поток в положительном направлении обхода, выбранном для данного контура. Так как на каждом участке индукцию можно выразить через текущий по сердечнику магнитный поток \Phi = B \times S , то это соотношение записывается в виде \sum_i \Phi_i \frac{\Delta l_i}{\mu_0 \mu_i S_i} = \sum_i \Phi_i R_i = \sum_k (\pm N_k I_k) = \sum_k (\pm M_k), где величины R_i \equiv \frac{1}{\mu_0 \mu_i} \frac{\Delta l_i}{S_i} оказываются введенным ранее магнитными сопротивлениями, а M_k \equiv N_k I_k – магнитодвижущими силами (МДС). В этом виде мы получаем полный аналог правила Кирхгофа для электрических цепей. Вместе с условием непрерывности магнитного потока мы получаем способ построить полную систему уравнений для расчета магнитных цепей, который полностью аналогичен расчету цепей постоянного электрического тока. Поэтому далее будем называть подобные системы из магнитных сердечников («каналов») с катушками (источниками магнитного потока) магнитными цепями, и будем использовать для расчетов магнитных полей именно расчет магнитных потоков с помощью методов, которые были нами изучены в теме «цепи постоянного тока». На самом деле для любой задачи о магнитной цепи можно найти полностью аналогичную задачу о цепи постоянного электрического тока и наоборот!