Магнитные цепи: МДС и магнитное сопротивление, анализ магнитных цепей.: Лекция 11

Пример 1: В тонкий тороидальный сердечник из материала с \mu_1 = 200 , радиус средней линии которого a = 20 см, а диаметр d = 1 см по диаметру вставлена перемычка такого же поперечного сечения, но из материала с \mu_2 = 400 . С одной стороны от перемычки на сердечник намотано N = 1000 витков провода, по которому течет ток I = 5 А. Найдите индукцию магнитного поля в перемычке. Рассеянием магнитного потока пренебречь.

Решение:

image.png

Обратим внимание, что диаметр сердечника намного меньше длин его «ручек» и «перемычки», а магнитная проницаемость его материалов очень велика. Поэтому мы можем считать, что магнитный поток течет практически вдоль средних линий участков сердечника, почти однороден по сечению, и пренебрежение рассеянием магнитного потока (которое нам рекомендовано использовать в условии) разумно. Уравнение непрерывности магнитного потока (см. рисунок) \Phi = \Phi_1 + \Phi_2 . С учетом того, что сечение всех участков сердечника одинаково, для величин индукции внутри каждого из участков получаем B = B_1 + B_2 . Теперь запишем закон полного тока для контура, составленного из левой и правой половины тора: \frac{B}{\mu_1} \pi a + \frac{B_1}{\mu_1} \pi a = \mu_0 N I \Rightarrow B + B_1 = \frac{\mu_0 \mu_1 N I}{\pi a}. Наконец, запишем закон полного тока для контура, составленного из правой половины тора и перемычки: \frac{B_1}{\mu_1} \pi a - \frac{B_2}{\mu_2} 2 a = 0 \Rightarrow B_1 = \frac{2 \mu_1}{\pi \mu_2} B_2 (обратите внимание: обход контура идет против «положительного» направления потока в перемычке, поэтому соответствующее слагаемое входит в уравнение со знаком «минус»). Теперь решаем получившуюся систему: подставляем третье уравнение во второе, находим B = \frac{\mu_0 \mu_1 N I}{\pi a} - B_1 = \frac{\mu_0 \mu_1 N I}{\pi a} - \frac{2 \mu_1}{\pi \mu_2} B_2 . Наконец, оба соотношения получаем в первое уравнение, и приходим к ответу: \frac{\mu_0 \mu_1 N I}{\pi a} - \frac{2 \mu_1}{\pi \mu_2} B_2 = \frac{2 \mu_1}{\pi \mu_2} B_2 + B_2 \Rightarrow B_2 = \frac{\mu_0 \mu_1 \mu_2 N I}{(4 \mu_1 + \pi \mu_2) a} . Подставляя численные значения, получаем B_2 \approx 1,22 Тл.

Здесь мы строили решение «напрямую» - непосредственно из уравнений условия непрерывности потока и закона полного тока (без использования аналогии с правилами Кирхгофа). Конечно, так можно действовать всегда. Но иногда аналогия позволяет сократить вычисления. Особенно это заметно, если расчет можно свести к использованию правил для последовательного и параллельного соединений «магнитных сопротивлений».

Пример 2: Найти величины магнитной индукции в каждом из ферромагнитных сердечников цепи, показанной на рисунке. Длина отрезка сердечника с катушкой из N витков повода равна l , а отрезков без обмоток – 2l, 3l , и 6l . Сила тока в катушке I , магнитная проницаемость сердечника во всех его частях одинакова и равна \mu , площадь поперечного сечения сердечника также одинакова во всех его частях.

image.png

Решение: Обозначим магнитное сопротивление сердечника длины l (с катушкой) R \equiv \frac{l}{\mu_0 \mu S} . Тогда магнитные сопротивлении сердечников без обмоток равны 2R, 3R и 6R . Полное магнитное сопротивление цепи находится по правилам расчета параллельных и последовательных соединений «резисторов»: R_f = R + \frac{1}{\frac{1}{2R} + \frac{1}{3R} + \frac{1}{6R}} = 2R . Поэтому магнитный поток в сердечнике с «источником» (катушкой) \Phi_1 = B_1 S = \frac{N I}{R_f} = \frac{N I}{2 R} = \frac{\mu_0 \mu S \cdot N I}{2 l} \Rightarrow B_1 = \frac{\mu_0 \mu N I}{2 l}. Этот поток растекается по трем другим сердечникам обратно пропорционально по отношению к их магнитным сопротивлениям, то есть B_2 = \frac{1}{2} B_1 = \frac{\mu_0 \mu \cdot N I}{4l}, \quad B_3 = \frac{1}{3} B_1 = \frac{\mu_0 \mu \cdot N I}{6l}, \quad B_6 = \frac{1}{6} B_1 = \frac{\mu_0 \mu \cdot N I}{12l}.

Пример 3: В тонкий тороидальный сердечник из материала с \mu_1 = 200 , радиус средней линии которого a = 20 см, а диаметр d = 1 см, по диаметру вставлена перемычка такого же поперечного сечения, но из материала с \mu_2 = 400 . С одной стороны от перемычки на сердечник намотано N = 1000 витков провода, по которому течет ток I = 5 А. С другой стороны в «ручке» сердечника сделан поперечный пропил шириной h = 2 мм (см. рисунок). Найдите индукцию магнитного поля в перемычке. Рассеянием магнитного потока всюду, в том числе и в окрестности пропила, пренебречь.

image.png

Решение: По-прежнему считаем, что магнитный поток течет практически вдоль средних линий участков сердечника, почти однороден по сечению, и пренебрежение рассеянием магнитного потока (которое нам рекомендовано использовать в условии) разумно. Уравнение непрерывности магнитного потока (см. рисунок) \Phi = \Phi_1 + \Phi_2 . С учетом того, что сечение всех участков сердечника одинаково, для величин индукции внутри каждого из участков получаем B = B_1 + B_2 . Теперь запишем закон полного тока для контура, составленного из левой и правой половины тора: \frac{B}{\mu_1} \pi a + B_1 \left[ \frac{\pi a - h}{\mu_1} + \frac{h}{1} \right] = \mu_0 N I \Rightarrow B + B_1 (1 + \delta) = \frac{\mu_0 \mu_1 N I}{\pi a}. Здесь мы ввели обозначение \delta \equiv \frac{h}{\pi a} (\mu_1 - 1) = \frac{1,99}{\pi} \approx 0,6334 . Наконец, запишем закон полного тока для контура, составленного из правой половины тора и перемычки: B_1 \left[ \frac{\pi a - h}{\mu_1} + \frac{h}{1} \right] - \frac{B_2}{\mu_2} 2 a = 0 \Rightarrow B_1 (1 + \delta) = \frac{2 \mu_1}{\pi \mu_2} B_2. Теперь решаем получившуюся систему: подставляем третье уравнение во второе, находим, что B = \frac{\mu_0 \mu_1 N I}{\pi a} - B_1 [1 + \delta] = \frac{\mu_0 \mu_1 N I}{\pi a} - \frac{2 \mu_1}{\pi \mu_2} B_2. Наконец, оба соотношения получаем в первое уравнение, и приходим к ответу: \frac{\mu_0 \mu_1 N I}{\pi a} - \frac{2 \mu_1}{\pi \mu_2} B_2 =\frac{2\mu_1}{\pi \mu_2 (1+\delta)} B_2 + B_2 \Rightarrow B_2 = \frac{\mu_0 \mu_1 \mu_2 N I(1+\delta)}{a [2(2 + \delta)\mu_1 + \pi(1 + \delta)\mu_2]}. Подставляя численные значения, получаем B_2 \approx 1,32 Тл, то есть из-за совсем небольшого (казалось бы – h составляет менее 0,3