Магнитное поле в магнетиках. Действие поля на магнетики.: Семинар 6

Пример 1

Условие

Большая область пространства, в которой создано магнитное поле, разделена на две части плоской границей раздела магнетиков с магнитными проницаемостями \mu_1 и \mu_2 . В магнетике с магнитной проницаемостью \mu_2 магнитная индукция постоянна, ее величина |\vec{B}_2| = B_2 , и линии индукции подходят к границе раздела под углом \alpha_2 к нормали к этой поверхности. В магнетике с магнитной проницаемостью \mu_1 магнитная индукция также постоянна. Найти ее величину.

image.png

Решение

Из лекции мы знаем, как записываются условия сшивки для векторов магнитной индукции. Во-первых, перпендикулярная границе компонента магнитной индукции не изменяется: B_{1n} = B_{2n} = B_2 \cos(\alpha_2) . Во-вторых, отношение параллельных составляющих равно отношению магнитных проницаемостей сред: \frac{B_{1\parallel}}{\mu_1} = \frac{B_{2\parallel}}{\mu_2} \Rightarrow B_{1\parallel} = \frac{\mu_1}{\mu_2} B_{2\parallel} = \frac{\mu_1}{\mu_2} B_2 \sin(\alpha_2) . Следовательно, величина магнитной индукции в первой области B_1 = \sqrt{B_{1n}^2 + B_{1\parallel}^2} = B_2 \sqrt{\cos^2(\alpha_2) + \left(\frac{\mu_1}{\mu_2}\right)^2 \sin^2(\alpha_2)} = B_2 \sqrt{1 + \left[ \left(\frac{\mu_1}{\mu_2}\right)^2 - 1 \right] \sin^2(\alpha_2)}.

Ответ B_1 = B_2 \sqrt{1 + \left[ \left(\frac{\mu_1}{\mu_2}\right)^2 - 1 \right] \sin^2(\alpha_2)} .

Пример 2

Условие

По длинному прямому проводу круглого сечения с радиусом a течет ток с силой I , однородно распределенный по сечению провода. Материал провода имеет магнитную проницаемость \mu_1 = 2 , а окружающее пространство и \mu_2 = 3 . Найдите величину магнитной индукции во всем пространстве.

image.png

Решение

Сначала обратим внимание на симметрию задачи: ясно, что распределение токов не изменяется при повороте вокруг оси провода (имеющего форму длинного цилиндра). Значит, и магнитное поле должно обладать этим свойством: нам становится понятно, что линии индукции – это окружности в плоскости, перпендикулярной этой оси с центрами, расположенными тоже на ней. При этом величина индукции на такой окружности постоянна и зависит только от радиуса окружности. Затем запишем закон полного тока для двух контуров, каждый из которых – как раз такая окружность, причем направление обхода выберем по направлению векторов магнитной индукции. Тогда циркуляция этого вектора индукции равна произведению величины индукции на длину окружности. Пусть радиус первой окружности r < a (контур находится внутри провода – см. рисунок). Тогда этот контур пронизывает не весь ток, текущий по проводу, а его часть, пропорциональная площади контура:

r0.25

\frac{B(r)}{\mu_1} \cdot 2\pi r = \mu_0 I \frac{\pi r^2}{\pi a^2} \Rightarrow B(r) = \frac{\mu_0 \mu_1 I}{2 \pi a^2} r = \frac{\mu_0 I}{\pi a^2} r. Радиус второй окружности выберем так, что контур будет лежать вне провода ( r > a ), и его будет пронизывать ток I . Тогда \frac{B(r)}{\mu_2} \cdot 2\pi r = \mu_0 I \Rightarrow B(r) = \frac{\mu_0 \mu_2 I}{2 \pi r} = \frac{3 \mu_0 I}{2 \pi r}. Для наглядности полезно построить график зависимости величины магнитной индукции от расстояния от точки наблюдения до оси провода и обратить внимание на то, что эта зависимость не является непрерывной: у нее есть скачок на поверхности провода – при r = a . Так и должно быть, ведь в этой системе магнитная индукция направлена по касательной к поверхности провода, а касательная составляющая и должна изменяться со скачком на границе сред с разными магнитными проницаемостями.

image.png

Ответ B(r) = \left\{ \begin{aligned} \frac{\mu_0 I}{\pi a^2} r, \quad r < a \\ \frac{3 \mu_0 I}{2 \pi r}, \quad r > a \end{aligned} \right.

Пример 3

Условие

На тороидальный сердечник с радиусом средней линии a и радиусом круглого сечения r намотана обмотка из нескольких витков. Магнитная проницаемость материала сердечника \mu \gg 1 . Индуктивность обмотки равна L . В сердечнике сделали поперечный пропил шириной x \ll r \ll a . Какой в результате этого стала индуктивность обмотки? Рассеянием магнитного потока в сердечнике пренебречь.

image.png

Решение

Как мы знаем, внутри ферромагнитного сердечника магнитный поток каналлируется (то есть течет в пределах сердечника), и даже в пропиле линии индукции практически «не успевают» выйти из сечения сердечника (это и называется отсутствием рассеяния магнитного потока). Так как сечение сердечника постоянно (и равно S = \pi r^2 ), то величина индукции вдоль средней линии сердечника тоже примерно постоянна. В случае с пропилом уравнение закона полного тока принимает вид \frac{B}{\mu_0 \mu} (2\pi a - x) + \frac{B}{\mu_0} x = N I, \quad и поэтому величина индукции в сердечнике \quad B = \frac{\mu_0 \mu N I}{2\pi a + (\mu - 1)x}. Следовательно, магнитный поток через обмотку в случае с пропилом \Phi = N \cdot B \cdot \pi r^2 = \mu_0 \mu \pi \frac{N^2 I}{2\pi a + (\mu - 1)x} r^2. Значение индуктивности обмотки L_{с} = \frac{\mu_0 \mu \pi N^2 r^2}{2\pi a + (\mu - 1)x} . Ясно, что ее значение в отсутствие пропила в сердечнике получится, если положить x = 0 , то есть L = \frac{\mu_0 \mu N^2 r^2}{2a} . Сравнивая эти формулы, находим, что L_{с} = \frac{L}{1 + \frac{(\mu - 1)x}{2\pi a}} . Можно заметить, что при большой величине магнитной проницаемости сердечника даже очень узкий пропил может заметно изменить индуктивность обмотки. Например, при \mu = 500 , пропил шириной x = \frac{\pi a}{50} приведет к тому, что индуктивность упадет почти в 6 раз – L_{с} = \frac{L}{5,99} !

Ответ L_{с} = \frac{L}{1 + \frac{(\mu - 1)x}{2\pi a}} .

Полезно вспомнить, что с магнитным полем связана энергия, плотность которой в пространстве w_B = \frac{B^2}{2\mu_0 \mu} . Как видно, магнетик может заметно изменить энергию магнитного поля. Например, если линии индукции магнитного поля перпендикулярны поверхности магнетика, то в силу непрерывности магнитного потока величины индукции поля по разные стороны от этой поверхности должны быть одинаковы, и поэтому плотности энергии различаются в \mu раз. Это приводит к появлению сил, заставляющих границу магнетика сдвигаться. Анализ энергетического баланса в задачах, посвященных силам, действующим на магнетик, довольно сложен, так как обычно в уравнение баланса входит работа источников тока, поддерживающих силу тока неизменной (если сила тока изменяется, то нужно отдельно анализировать применимость приближения магнитостатики). В некоторых задачах проще исходить из того, что магнитное поле с плотностью энергии создает давление на границу раздела магнетиков, равное этой плотности энергии.