Движение зарядов в магнитном поле при наличии других сил.: Лекция 9

Часть I: Разделение движений на продольное и поперечное по отношению к магнитному полю. Сила, параллельная магнитному полю.

Если, помимо магнитного поля, в пространстве, в котором движется заряженная частица, присутствуют и другие силовые поля, движения частицы становятся еще более разнообразны. Ведь уравнение движения стало более сложным: m \vec{a} = q[\vec{v} \times \vec{B}] + \vec{F} (где \vec{F} – равнодействующая «других» сил), и построение его общего решения может оказаться очень сложной задачей.

Здесь очень удобно с самого начала обратить внимание на удобство анализа энергетики движения. Если дополнительные силы совершают работу, то скорость частицы изменяется. Отметим, что сила Лоренца по-прежнему не совершает работы, и поэтому изменение кинетической энергии частицы на самом деле связано только с работой этих дополнительных сил – несмотря на то, что сила Лоренца влияет на характер движения частицы.

image.png

Например, если мы уроним шарик с массой m и зарядом q с высоты h на горизонтальный участок поверхности Земли в области, в которой создано горизонтальное магнитное поле и откачан воздух, то его движение действительно будет сложным: шарик начнет падение вниз под действием силы тяжести, но после набора им скорости появится сила Лоренца, которая изменит направление его движения, и он будет отклоняться от вертикали. Но если нам зададут вопрос о скорости падения шарика на Землю, ответить на его будет несложно: нам достаточно вспомнить, что кинетическая энергия у падающего шарика появилась только из-за работы силы тяжести. Поэтому, несмотря на сложность исследования траектории, закон сохранения энергии сразу дает нам, что \frac{mv_{пад}^2}{2} = mgh \Rightarrow v_{пад} = \sqrt{2gh} .

Рассмотрим более подробно случай постоянной дополнительной силы (обычно в ее роли выступает либо сила, действующая на частицу со стороны однородного электрического поля, либо сила тяжести). Здесь тоже удобно с самого начала разделить возможные ситуации на два случая.

Первый – когда эта сила является продольной, то есть направлена вдоль линий индукции магнитного поля. В этом случае дополнительная сила не влияет на ларморовское вращение, а сила Лоренца по-прежнему не влияет на движение вдоль поля, то есть эти движения остаются независимыми. Итак, при рассмотрении движения частицы в магнитном поле постоянного направления при наличии продольной силы другой природы (направление которой всегда параллельно направлению вектора магнитной индукции) нам необходимо отдельно проанализировать движение вдоль магнитного поля и движение в плоскости, перпендикулярной полю. По сути, влияние продольной дополнительной силы сводится к тому, что продольный дрейф становится неравномерным. В случае движения строго вдоль магнитного поля это поле на движение не влияет.

Рассмотрим сначала пример анализа такого движения, в котором удобно использовать энергетический подход.

Пример 1: Электрон влетел в область пространства, в которой созданы однородные электрическое и магнитное поля, направленные по оси x , в точке О ( x_0 = 0 ) под углом 45 ^\circ к этой оси с скоростью v_0 . Напряженность электрического поля равна E , индукция магнитного поля равна B . Определите значение координаты x точки, в которой величина скорости электрона будет на 25

Решение: Пусть нужная нам точка – это точка А. Опять для ответа на заданный вопрос достаточно заметить, что сила со стороны электрического поля будет тормозить электрон, а сила Лоренца не будет изменять его кинетическую энергию. Таким образом, убыль этой энергии равна отрицательной работе электрической силы, а она как раз вычисляется через проекцию перемещения электрона на ось x : \frac{mv_A^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = -eE(x_A - x_0) \Rightarrow x_A = \frac{m}{2eE} \left( v_0^2 - \frac{9}{16} v_0^2 \right) = \frac{7 m v_0^2}{32 e E}. Естественно, магнитное поле на наш ответ не повлияло. Но оно влияет на движение в целом, и при других вопросах это влияние становится заметным.

Пример 2: Электрон влетел в область пространства, в которой созданы однородные электрическое и магнитное поля, направленные по оси x , в точке О ( x_0 = 0 ), со скоростью v_0 под углом 45 ^\circ к этой оси. Напряженность электрического поля равна E , индукция магнитного поля равна B . В точке А величина скорости электрона оказалась равна v_A = 0,75 \cdot v_0 . Найдите время полета от О до А и расстояние |OA| . Заряд и массу электрона считать известными.

Решение: Уравнение движения электрона в проекции а ось x ma_x = -eE показывает нам, что это движение с постоянным (отрицательным) ускорением, и проекция скорости электрона на ту ост в точке А равна v_{Ax} = v_{0x} - \frac{eE}{m} t = \frac{v_0}{\sqrt{2}} - \frac{eE}{m} t . С другой стороны, квадрат скорости в этой точке можно записать как сумму квадратов проекций скорости, параллельной и перпендикулярной оси x : v_A^2 = \frac{9}{16} v_0^2 = v_{Ax}^2 + v_{\perp}^2 . Но на движение электрона в плоскости, перпендикулярной оси x , влияет только сила Лоренца, которая не совершает работы, так что перпендикулярная компонента скорости в точке А равна начальной: v_{\perp}^2 = v_{0\perp}^2 = \frac{1}{2} v_0^2 . Следовательно, \frac{9}{16} v_0^2 = v_{Ax}^2 + \frac{1}{2} v_0^2 \Rightarrow v_{Ax}^2 = \frac{1}{16} v_0^2 , и v_{Ax} = \frac{v_0}{4} . Подставляя этот результат в уравнение изменения скорости, находим время полета: \frac{v_0}{4} = \frac{v_0}{\sqrt{2}} - \frac{eE}{m} t \Rightarrow t = \frac{2\sqrt{2}-1}{4} \frac{m v_0}{eE}. Для нахождения величины перемещения нужно понять, что его можно выразить через найденную в примере 1 величину x_A = \frac{7 m v_0^2}{32 e E} и расстояние от оси x до точки А, которое мы обозначим r_A : |OA|^2 = x_A^2 + r_A^2 . А для нахождения необходимо исследовать движение электрона в плоскости, перпендикулярной оси x , которое, как мы знаем, является ларморовским вращением по окружности радиуса R = \frac{mv_{\perp}}{eB} = \frac{m v_0}{e B \sqrt{2}} с угловой скоростью \omega = \frac{eB}{m} . Угол поворота за врем полета \varphi = \omega t = \frac{eB}{m} \frac{2\sqrt{2}-1}{4} \frac{m v_0}{eE} = \frac{(2\sqrt{2}-1) v_0 B}{4 E} , а r_A есть длина хорды ларморовской окружности с этим угловым размером: r_A = 2R \sin \left( \frac{\varphi}{2} \right) . Таким образом, r_A = \sqrt{2} \frac{m v_0}{eB} \left| \sin \left( \frac{(2\sqrt{2}-1) v_0 B}{8 E} \right) \right|. Модуль в этой формуле поставлен с учетом того, что нужное нам расстояние – величина положительная, а синус угла поворота в некоторые моменты времени может стать отрицательным. В итоге |OA| = \frac{m v_0}{eB} \sqrt{ \frac{49 v_0^2 B^2}{1024 E^2} + 2 \sin^2 \left( \frac{(2\sqrt{2}-1) v_0 B}{8 E} \right) }. Как видно, полный ответ выглядит очень сложным, хотя каждый этап вычислений в принципе не так уж сложен.

Пример 3: Небольшим заряженным шариком «выстрелили» со скоростью v_0 = 40 м/с под углом 30 ^\circ к горизонту в области, из которой откачан воздух и создано вертикальное магнитное поле с индукцией B = 1 Тл. Оказалось, что шарик пролетел по замкнутой траектории без самопересечений и упал точно в точку старта. Найдите длительность полета шарика и модуль его удельного заряда. Ускорение свободного падения считать примерно равным 10 м/с ^2 .

Решение: Уравнение движение шарика вдоль оси z , направленной вертикально вверх, не содержит магнитного поля – по этой оси шарик движется с ускорением свободного падения, и потому движение вдоль вертикали не отличается от «обычного» движения тела, брошенного под углом к горизонту: z(t) = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2} . Время полета определяется условием z(t_n) = 0 , то есть, как обычно при броске под углом к горизонту t_n = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} = 4 с. В горизонтальной плоскости xy тело движется, «не чувствуя» поля тяжести, и поэтому оно совершает ларморовское вращение с угловой скоростью \omega = \frac{|q|B}{m} по окружности радиуса R = \frac{mv_0 \cos(\alpha)}{|q|B} . Из условия ясно, что за время движения шарик совершил ровно один оборот по ларморовской окружности (он вернулся в исходную точку, и траектория сама себя не пересекала), то есть \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} = 2\pi \frac{m}{|q|B} \Rightarrow \frac{|q|}{m} = \frac{\pi g}{v_0 \sin(\alpha) B} \approx 1,57 Кл/кг.

Ответ: t_n = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} = 4 с, \frac{|q|}{m} = \frac{\pi g}{v_0 \sin(\alpha) B} \approx 1,57 Кл/кг .

Впрочем, неоднородность продольного «дополнительного» поля не помешает нам провести раздельное описание параллельного и поперечного движений.

Пример 4: Протон попал в область, в которой были созданы однородное магнитное поле с \vec{B} = B \cdot \vec{e}_x и неоднородное электрическое поле \vec{E} = -k x \cdot \vec{e}_x . В начале координат протон имел скорость v_0 , направленную под углом \alpha к оси x . Спустя время t его скорость (по модулю) стала равна первоначальной. Найти t .

Решение: Для решения этой задачи важно понять, что электрическое поле не влияет на движение в плоскости, параллельной yz – это «обычное» ларморовское вращение, и модуль перпендикулярной к оси x компоненты скорости остается неизменным: |\vec{v}_{\perp}| = const . В свою очередь, магнитное поле не влияет на движение протона по оси x , и уравнение этого движения ma_x = e \cdot E_x = -ek \cdot x совпадает с уравнением движения пружинного маятника, в котором роль жесткости пружины играет величина ek . Значит, и само движение протона вдоль оси x происходит по тому же закону, то есть является гармоническим колебанием с периодом T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{ek}} . За половину периода проекция протона на ось x возвращается в начальную точку x = 0 , и проекция скорости на эту ось в этот момент в первый раз после начала движения возвращается к исходной величине. Перпендикулярная к этой оси составляющая скорости и вовсе не изменяется, так что в этот момент времени модуль полной скорости стал равен начальному. Таким образом, t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{\frac{m}{ek}} . Как видно, ответ не зависит от величины B .