Движение зарядов в магнитном поле при наличии других сил.: Лекция 9

Часть II: Сила, перпендикулярная магнитному полю. Дрейф в скрещенных полях.

Если же сила является поперечной – направлена в плоскости, перпендикулярной \vec{B} (ее в этом случае также часто называют «скрещенной» с магнитным полем), то сила Лоренца действует в той же плоскости, что и дополнительная сила, и движение определяется их совместным действием. Анализ этого случая приводит к обнаружению нового интересного явления,– явления дрейфа в «скрещенных» полях. Если на частицу действует сила Лоренца и другая, постоянная по величине и направлению сила \vec{F} , перпендикулярная \vec{B} , то можно подобрать скорость движения частицы \vec{v}_D , при которой сила Лоренца в точности уравновесит \vec{F} : q [\vec{v}_D \times \vec{B}] = -\vec{F} . Значит, при «запуске» с такой скоростью частица будет двигаться равномерно и прямолинейно – такие движения, как мы поняли, и называют «дрейфом». Ясно, что скорость дрейфа перпендикулярна и \vec{F} , и \vec{B} , а ее величина v_D = \frac{F}{qB} .

Отметим, что \vec{v}_D не является единственной скоростью запуска, обеспечивающей равномерное и прямолинейно движение – если мы добавим к ней составляющую скорости \vec{v}_{\parallel} , направленную вдоль магнитного поля, то она не повлияет на силу Лоренца, а поперечная «дополнительная» сила не будет влиять на продольное движение, и \vec{v}_{\parallel} тоже будет оставаться постоянной. Значит, полная скорость \vec{v} = \vec{v}_{\parallel} + \vec{v}_D постоянна, и мы увидим равномерное прямолинейное движение, являющееся комбинацией двух дрейфовых движений – продольного дрейфа и дрейфа в скрещенных полях.

Пример 5: Радиоактивный источник испускает \alpha -частицы в заданном направлении с заданной скоростью, и они попадают на фотопластинку, падая на нее нормально (скорость частиц перпендикулярна фотопластинке). В пространстве между источником и фотопластинкой созданы однородные электрическое и магнитное поля, параллельные фотопластинке и перпендикулярные друг другу. Изначально индукция магнитного поля подобрана так, чтобы «отметка» от пучка \alpha -частиц на фотопластинке осталась точно в том же месте, что и в отсутствие полей. Куда сместится эта «отметка», если немного уменьшить величину индукции магнитного поля?

Решение: Мы должны понять, что отсутствие отклонения пучка после включения полей свидетельствует о том, что мы наблюдаем дрейф в скрещенных полях. А это значит, что сила \vec{F} = q\vec{E} = +2e\vec{E} , действующая на \alpha -частицу со стороны электрического поля, уравновешивается силой Лоренца: qE = qvB (обратим внимание, что из этого соотношения следует v = \frac{E}{B} , то есть по известным величинам электрической напряженности и магнитной индукции можно найти скорость частицы). Если уменьшить величину магнитной индукции, то уменьшится и сила Лоренца, и она больше не будет компенсировать электрическую силу. В результате частица будет отклоняться по направлению \vec{E} , и туда же сместится «отметка» от пучка на фотопластинке.

Пример 6: Небольшим шариком с удельным зарядом \frac{q}{m} = +10 Кл/кг «выстрелили» из точки на высоте h = 2,2 м над горизонтальным участком поверхности Земли в области, из которой откачан воздух и создано горизонтальное магнитное поле с индукцией B = 0,1 Тл. Оказалось, что шарик летел равномерно по прямой линии до тех пор, пока не вылетел за пределы области, в которой создавалось магнитное поле. С какой скоростью шарик упал на землю? Он до самого падения оставался в безвоздушном пространстве. Ускорение свободного падения считать примерно равным 10 м/с ^2 .

Решение:

image.png

Из условия ясно, что поначалу движение шарика было дрейфом в скрещенных полях. Это значит, что после выстрела он летел в направлении, перпендикулярном магнитному полю и силе тяжести (то есть горизонтально) со скоростью v_D = \frac{mg}{qB} . После вылета в область, где нет магнитного поля, он начнет падать (его скорость начнет расти). Поскольку до начала падения его высота не изменялась, то к моменту падения его кинетическая энергия возрастет на \Delta E = mgh . Значит, скорость падения будет определяться из соотношения \frac{mv_D^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2} \Rightarrow v^2 = \left( \frac{mg}{qB} \right)^2 + 2gh. Таким образом, v = \sqrt{ \left( \frac{10}{10 \cdot 0,1} \right)^2 + 2 \cdot 10 \cdot 2,2 } = \sqrt{100 + 44} = 12 м/с.

Ответ: v = \sqrt{ \left( \frac{mg}{qB} \right)^2 + 2gh } \approx 12 м/с.

Существует интересный прием, позволяющий достаточно просто анализировать практически любое движение заряженной частицы в скрещенных однородных силовых полях. Этот прием – переход в Инерциальную Систему Отсчета, движущуюся со скоростью дрейфа. В самом деле, уравнение движения частицы с массой m и зарядом q в однородном поле сил \vec{F} и в перпендикулярном ему магнитном поле \vec{B} m \vec{a} = q [\vec{v} \times \vec{B}] + \vec{F} после перехода в ИСО, движущуюся относительно исходной со скоростью дрейфа \vec{v}_D , ускорение остается таким же, а скорость относительно новой ИСО находится с помощью векторного вычитания: \vec{a}' = \vec{a} , \vec{v}' = \vec{v} - \vec{v}_D . Выражая «старые» ускорение и скорость через «новые» и подставляя эти выражения в «старое» уравнение движения, получаем «новое» уравнение движения: m \vec{a}' = q [\vec{v}' \times \vec{B}] + q [\vec{v}_D \times \vec{B}] + \vec{F} = q [\vec{v}' \times \vec{B}], то есть оно является уравнением движения в одном только магнитном поле – дополнительное силовое поле «исчезает»! Например, если \vec{v}_{\parallel} = 0 , то движение в этой системе отсчета есть ларморовское вращение, а общее движение есть наложение дрейфа в скрещенных полях и ларморовского вращения.

Пример 7: Ионная пушка выстреливает ионы в область, в которой созданы скрещенные однородные электрическое и магнитное поля, со скоростью v_0 , перпендикулярной векторам электрической напряженности и магнитной индукции. В этом случае ион движется равномерно и прямолинейно. В другом опыте выстрел был произведен в том же направлении, но величина скорости бала в два раза меньше. В каких пределах будет изменяться величина скорости иона во втором опыте?

Решение: Ясно, что в первом опыте наблюдался дрейф иона в скрещенных полях. Так что величина скорости дрейфа – это v_0 . При описании движения иона во втором опыте перейдем в ИСО, движущуюся относительно исходной со скоростью дрейфа. Как мы знаем, движение иона в этой ИСО – это движение в только в однородном магнитном поле, причем начальная скорость \vec{v}'_0 = \frac{1}{2}\vec{v}_0 - \vec{v}_0 = -\frac{1}{2}\vec{v}_0 направлена в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, а ее величина равна \frac{v_0}{2} . Следовательно, это – ларморовское вращение с постоянной по величине скоростью. Скорость иона относительно исходной ИСО равна векторной сумме скоростей дрейфа и ларморовского вращения. Эта сумма имеет минимальную величину, если складываемые вектора противонаправлены: v_{min} = v_0 - \frac{1}{2}v_0 = \frac{1}{2}v_0 , и максимальную – когда они сонаправлены: v_{max} = v_0 + \frac{1}{2}v_0 = \frac{3}{2}v_0 . Итак, \frac{1}{2}v_0 \le |\vec{v}| \le \frac{3}{2}v_0 .

На самом деле здесь проявляется относительность разделения единого электромагнитного поля на электрическую и магнитную компоненты. Это разделение зависит от выбора системы отсчета, и поэтому при переходе из одной инерциальной системы отсчета (исходной, в которой действие электромагнитного поля на заряд описывалось только магнитной компонентой \vec{B} ) в движущуюся со скоростью \vec{v} для описания действия того же электромагнитного поля на этот заряд необходимо ввести новые поля \vec{B}' и \vec{E}' , причем для нерелятивистских частиц (при v \ll c ) формулы преобразования полей как раз и имеют вид \vec{B}' \approx \vec{B} , \vec{E}' \approx \vec{E} + [\vec{v} \times \vec{B}] .