Параллельное и скрещенное силовые поля на фоне магнитного поля.: Семинар 7

Задача 1

Условие

Плоскость, наклоненная под углом \alpha к горизонту, изготовлена из шероховатого непроводящего материала, диэлектрическая проницаемость которого примерно равна 1. Небольшую заряженную шайбу запускают скользить по этой плоскости с начальной скоростью v_0 из точки А. В области движения шайбы создано однородное магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости. Коэффициент трения шайбы о плоскость равен \mu . Проехав по криволинейной траектории, шайба остановилась в точке В, которая по вертикали расположена ниже, чем точка А, причем разность высот h_A - h_B = \Delta h . Найдите путь, пройденный шайбой между точками А и В.

image.png

Решение

Информация о диэлектрической проницаемости материала плоскости говорит нам о том, что электрическим взаимодействием заряженной шайбы и поверхности можно пренебречь. Тогда ясно, что на шайбу действует четыре силы: сила тяжести, сила Лоренца, сила нормальной реакции поверхности и сила трения. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости шайбы, и ее работа равна нулю. Работа силы трения отрицательна, и она равна изменению механической энергии шайбы (суммы кинетической энергии и потенциальной энергии в поле тяжести Земли), то есть A_{тр} = E_{кон} - E_{нач} = -\frac{mv_0^2}{2} - mg\Delta h . С другой стороны, во время движения сила трения всегда являлась силой трения скольжения, то есть F_{тр} = \mu N , где N – величина силы нормальной реакции плоскости. Отметим, что сила трения всегда направлена вдоль наклонной плоскости, и – что особенно важно для нас – сила Лоренца тоже (вектор магнитной индукции по условию перпендикулярен плоскости, а сила Лоренца перпендикулярна \vec{B} ), и шайба не движется в направлении, перпендикулярном этой плоскости, то есть сила нормальной реакции в любой момент времени уравновешивает перпендикулярную плоскости составляющую силы тяжести: N = mg \cos(\alpha) . Таким образом, сила трения на всем пути шайбы направлена против скорости и постоянна по величине F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha) , и поэтому ее работа пропорциональна искомой длине пути s и равна A_{тр} = - F_{тр} s = -\mu mg \cos(\alpha) s . Сопоставляя полученные выражения, находим: -\frac{mv_0^2}{2} - mg\Delta h = -\mu mg \cos(\alpha) s \Rightarrow s = \frac{v_0^2 + 2g\Delta h}{2\mu g \cos(\alpha)}.

Здесь важно понять, за счет чего нам удалось решить задачу так легко, несмотря на то, что полное исследования движения шайбы (определение ее траектории и закона движения) – очень сложная задача. Ключом стало основное свойство силы Лоренца – то, что она никогда не совершает работы над зарядом, и «не вмешивается» в энергетический баланс. Второе обстоятельство, упростившее наше решение, тоже связано со свойствами силы Лоренца – магнитное поле было направлено перпендикулярно плоскости, и сила Лоренца была направлена параллельно наклонной плоскости, и по этой причины не влияла на силу нормальной реакции и, следовательно, на работу силы трения скольжения. В результате энергетический баланс, которым мы воспользовались, вообще никак не изменялся при включении магнитного поля.

Ответ s = \frac{v_0^2 + 2g\Delta h}{2\mu g \cos(\alpha)} .

Задача 2

Условие

В области над горизонтальным участком поверхности Земли создано вертикальное однородное магнитное поле с индукцией B = 4 Тл . Небольшой шарик массой m = 100 г с зарядом q = 1 мКл запускают с поверхности со скоростью v_0 = 20 м/с под углом \alpha = 30^\circ к горизонту. Ускорение свободного падения равно g \approx 10 м/с^2 . Найти дальность полета шарика, пренебрегая сопротивлением воздуха. Ответ запишите в метрах, с точностью до десятых.

Решение

Уравнение движение шарика вдоль оси z , направленной вертикально вверх, не содержит магнитного поля – по этой оси шарик движется с ускорением свободного падения, и потому движение вдоль вертикали не отличается от «обычного» движения тела, брошенного под углом к горизонту: z(t) = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2} . В горизонтальной плоскости xy тело движется, «не чувствуя» поля тяжести, и поэтому оно совершает ларморовское вращение с угловой скоростью \omega = \frac{|q|B}{m} по окружности радиуса R = \frac{mv_0 \cos(\alpha)}{|q|B} . Время полета определяется условием z(t_{п}) = 0 , то есть t_n = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} . Точка падения – точка ларморовской окружности, угол поворота до которой составляет \varphi = \omega t_{n} = \frac{2|q|B v_0 \sin(\alpha)}{mg} .

Дальность полета – длина хорды ларморовской окружности с таким угловым размером, то есть L = 2R \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{2mv_0 \cos(\alpha)}{|q|B} \sin\left(\frac{|q|B v_0 \sin(\alpha)}{mg}\right) \approx 34,6 м .

Ответ 34,6.

Задача 3

Условие

В вакуумной камере создано горизонтальное магнитное поле с индукцией B = 0,5 Тл . В нее запустили маленький заряженный шарик с массой m = 10 г и зарядом q = 1 мКл , летящий горизонтально со скоростью v = 392 м/с . Шарик полетел в камере равномерно-прямолинейно. Найдите угол \alpha между направлением движения шарика и направлением вектора магнитной индукции (известно, что 0^\circ < \alpha < 90^\circ ). Ускорение свободного падения для лучшей точности считайте равным g \approx 9,8 м/с^2 . Ответ выразить в градусах с точностью до целого значения.

Решение

Поскольку движение шарика – равномерное и прямолинейное, несмотря на действие силы тяжести и силы Лоренца, то эти силы уравновешивают друг друга, и движение шарика – дрейф в скрещенных полях. Условие равновесия сил mg = q v_{\perp} B позволяет найти компоненту скорости шарика, перпендикулярную магнитному полю: v_{\perp} = \frac{mg}{qB} . Значит, угол между \vec{v} и \vec{B} удовлетворяет уравнению \sin(\alpha) = \frac{v_{\perp}}{v} = \frac{mg}{qvB} = \frac{1}{2} . В нужном диапазоне корень этого уравнения – это 30^\circ .

Ответ 30.